作业帮关于通过极坐标积分求抛物线弧长
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 20:08:01
关于通过极坐标积分求抛物线弧长
首先求教一点----极坐标中长度关于角度的积分是不是弧长?如果是这一点,请帮我看看我的积分哪里错了.1.求y=ax^2从0到m的积分,设过原点的直线为y=kx.其中k=tan&(姑且让我这么用吧）得到抛物线极坐标x=k/a y=k^2/a接着求改点到原点距离d=(x^2+y^2)^0.5 我化简得到了sin&/(cos&)^2 接着我求这个东西从0到arctan(ax)的积分.得到l=1/(acos&) 如果不急着吧tan代人,我们知道1/(cos&)^2=tan^2&+1 则最终得到了l=(a^2x^2+1)^0.5/a-1/a 验算时就发现如果a=1那么这个东西在0到(1,1)的长度比直线距离还短,所以我很郁闷.请问这个思路有什么问题吗?还是计算出错了?如果知道,请顺便告诉我抛物线弧长公式,至少我可以慢慢推.
首先求教一点----极坐标中长度关于角度的积分是不是弧长?如果是这一点,请帮我看看我的积分哪里错了.1.求y=ax^2从0到m的积分,设过原点的直线为y=kx.其中k=tan&(姑且让我这么用吧）得到抛物线极坐标x=k/a y=k^2/a接着求改点到原点距离d=(x^2+y^2)^0.5 我化简得到了sin&/(cos&)^2 接着我求这个东西从0到arctan(ax)的积分.得到l=1/(acos&) 如果不急着吧tan代人,我们知道1/(cos&)^2=tan^2&+1 则最终得到了l=(a^2x^2+1)^0.5/a-1/a 验算时就发现如果a=1那么这个东西在0到(1,1)的长度比直线距离还短,所以我很郁闷.请问这个思路有什么问题吗?还是计算出错了?如果知道,请顺便告诉我抛物线弧长公式,至少我可以慢慢推.
曲线y从a到b的弧长公式s=∫(a,b)√(1加y'^2)dx
再问： 我研究过这种积分方法，但有个问题。这个积分并不表示弧长。把两点距离关于x进行积分（想啥呢，量纲都不对啊，如果放到物理里面，x单位是m，那平方再开方，量纲就是m，再积分得到的就是m^2了，求面积？.......）这个函数可以化简为x*√(1+x^2)dx 得到原函数是（√1+x^2 )^1.5/3但是悲剧的是我也验算过，结果也是弧长还没两点距离长...这个积分你认为有什么意义吗？积分是二者的单位之积，根本就不是长度啊..
再答： 粗略解释下：在曲线上取两点S1，S2，其距离为Δs,Δs²=Δx²+Δy² 取极限得：ds²=dx²+dy² 于是ds=√(1+y'^2)dx s=∫(a,b)ds
再问： 哈,最近研究曲率推出来了,谢谢啊.....不过至今才明白,极坐标公式不能用来积分.
再问： 我研究过这种积分方法，但有个问题。这个积分并不表示弧长。把两点距离关于x进行积分（想啥呢，量纲都不对啊，如果放到物理里面，x单位是m，那平方再开方，量纲就是m，再积分得到的就是m^2了，求面积？.......）这个函数可以化简为x*√(1+x^2)dx 得到原函数是（√1+x^2 )^1.5/3但是悲剧的是我也验算过，结果也是弧长还没两点距离长...这个积分你认为有什么意义吗？积分是二者的单位之积，根本就不是长度啊..
再答： 粗略解释下：在曲线上取两点S1，S2，其距离为Δs,Δs²=Δx²+Δy² 取极限得：ds²=dx²+dy² 于是ds=√(1+y'^2)dx s=∫(a,b)ds
再问： 哈,最近研究曲率推出来了,谢谢啊.....不过至今才明白,极坐标公式不能用来积分.