证明平面n边形重心与顶点的关系

证明平面n边形重心与顶点的关系
一个平面n变形有n个顶点为A1、A2.An,重心为O,向量OA1+向量OA2+.+向量OA3是否等于0向量.若成立,说明 该n边形是任意n边形还是限于凸n边,抑或 凹n边.
如果不成立也试举反例

当n>=4 不一定成立 考虑n=4时 两个三角形拼成的四边形：三个角角度为15,45,120 把最长边（120°的对边）拼起来形成一个以最长边所在直线为对称轴的凸四边形 四个角为90,120,120,30
重心的定义应该是使得此点连任意两相邻顶点得到的三角形面积相等的点,显然最长边的中点就是它的重心.然而它们加和不为零（两个抵消了,还有两个加起来形成了一个指向90°角所在顶点的向量）
再问： 他的重心貌似不是那里， 过重心的任意直线平分该图形面积， 按你说的过重心做最长的垂线，显然不平分
再答： 过重心的任意直线怎么可能平分面积。。看看正三角形，过其重心作一条与边平行的直线面积分成4:5 一般图形都不一定存在你说的那种点。首先你要把重心的定义弄清楚啊，亲~
再问： 哦 对 说错了， 过重心和任意顶点的直线平分面积...但你举的那个例子还是错的，它的重心在那两个三角形重心连线上与最长边上，并不是中点处
再答： 现在问题的关键也就是说到底一般平面n边形的重心是怎么定义的咯。重心在物理上的定义很清楚，就是质心，然后质量均匀分布的物体的质心就是所谓的“几何重心”。我很肯定的是 “过重心和任意顶点的直线平分面积”是不对的，这只对于三角形正确。你仔细想一想，画一个直角梯形，过每一个顶点存在唯一的一条线平分其面积，这四条线一定交于一点吗？对于一般n边形难道也交于一点？我现在也不太确定重心是不是使得此点连任意两相邻顶点得到的三角形面积相等的点，我要再想一想，这其实应该要用一些刚体力学知识的
再问： ...额， 我忘了力矩了，那个任意过重心的直线将其分为2个部分，每一个部分的重力乘上该部分重心到该直线的距离应该是相等的。 相当于面积乘那个距离。 貌似你是对的。 但你说的那个重心是使得此点连任意两相邻顶点得到的三角形面积相等的点能不能证明下呢...
再答： 哦，我想过了，我说的“重心是使得此点连任意两相邻顶点得到的三角形面积相等的点”是不对的。 在假设物体刚性和质量均匀的条件下，为了保持平衡，刚体每一点关于空间任一点的力矩的积分应该为0，这样刚体关于那一点的角动量为0。（每一个质量微元重力造成的力矩为：(r×dm)g) 把参考点选在待求的重心(a,b)上【假设已建立好坐标系平面图形每一点坐标已确定，这样你的问题就转化成了，所有顶点坐标之和的平均值是否为(a,b)】，也就是假想的支持力作用点上，这样支持力造成的力矩为0，因为质量均匀因此∫∫(x-a)dxdy=0;∫∫(y-b)dxdy=0 所以a=∫∫xdxdy/S b=∫∫ydxdy/S S为平面图形面积。这就是质量均匀物体质心的定义。现在考虑30°角的直角三角形ABC和ACD边长1,2,√3,拼成一个四边形，顶点：A(-1,0), B(-1/2,√3/2) ,C(1,0),D(-1/2,-√3/2) 由于此图形关于x轴对称，可知积分∫∫ydxdy=0所以b=0，还是对称性可知a就是三角形重心的横坐标很容易算得为-1/6 所以(-1/6,0) 是它的重心，因此我的说法不对【我说它是(0,0)】，你的说法也不对【你的做法“重心”是(-1/4,0)】 加点分吧同学~~看我回答的多认真啊！