关于等边三角形的证明题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 08:58:29

关于等边三角形的证明题
请写出步骤（最好是图片,有数学符号最好）,有辅助线也最好画图.

发错了,这是拿破仑三角,证明如下,很长,准备好……
如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'）,设这三个三角形的中心分别为D,E,F,
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心,以AF长为半径作弧；以点E为圆心,以DC长为半径作弧.设两弧在多边形AFBDCE内交于点G.则AG=AF,GE=DC.
连接GF、GA、GE,DE、DF、EF.
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE,
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC,
又∵AG=AF,GE=DC,
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,
∴△AGE∽△ABC,
∴∠GAE=∠BAC,
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°,
又∵AG=AF,
∴△AGF为等边三角形,
∴AG=AF,∠AGF=60°,
∵△AGE∽△ABC,
∴∠AGE=∠ABC,
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°,
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°,
∴∠FBD=∠FGE,
∵在△FBD和△FGE中,
FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE,
∴△FBD≌△FGE(SAS),
∴FD=FE,
同理,FD=DE,
∵FD=DE=FE,
∴△DEF为等边三角形.

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