作业帮求函数f(x)=(1+x)·x²·（1-x）(0≤x≤1)的最大值.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 08:20:34
求函数f(x)=(1+x)·x²·（1-x）(0≤x≤1)的最大值.
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答：所求函数f(x) 的最大值是 0.25 ；
f(x)=x²·（1-x²)
设 x²=y；则 f(x) = y - y² = - [ ( y - 0.5 ) ² - 0.25 )]
x∈[0,1] ,则 x²∈ [0,1] ,即 y∈ [0,1]
y-0.5 ∈ [-0.5 ,0.5]
( y - 0.5 ) ² ∈ [0,0.25]
( y - 0.5 ) ² - 0.25 ∈ [ -0.25 ,0 ]
- [ ( y - 0.5 ) ² - 0.25 )] ∈ [0,0.25]
即 f(x)∈ [0,0.25]；
所以 f(x) 的最大值是 0.25.
再问： 设 x²=y；则 f(x) = y - y² = - [ ( y - 0.5 ) ² - 0.25 )] 这一步没有看懂，函数是怎么成为具体的数值的？ 这道题原是基本不等式的练习题，做出来了……
再答： 没有成为具体数值，只是一个取值范围，这一步是配平方，求二次函数取值范围的最直接方法，
做出来了还没有理解的部分是哪里，未知数替换吗还是代入求值或者配平方？
另外如果你们学过函数图像的话也可以画一下，还有求导公式的方法，都可以求函数最值
f(x)=x²·（1-x²)
设 x²=y；则 f(x) = y - y² = - [ ( y - 0.5 ) ² - 0.25 )]
x∈[0,1] ,则 x²∈ [0,1] ,即 y∈ [0,1]
y-0.5 ∈ [-0.5 ,0.5]
( y - 0.5 ) ² ∈ [0,0.25]
( y - 0.5 ) ² - 0.25 ∈ [ -0.25 ,0 ]
- [ ( y - 0.5 ) ² - 0.25 )] ∈ [0,0.25]
即 f(x)∈ [0,0.25]；
所以 f(x) 的最大值是 0.25.
再问： 设 x²=y；则 f(x) = y - y² = - [ ( y - 0.5 ) ² - 0.25 )] 这一步没有看懂，函数是怎么成为具体的数值的？ 这道题原是基本不等式的练习题，做出来了……
再答： 没有成为具体数值，只是一个取值范围，这一步是配平方，求二次函数取值范围的最直接方法，
做出来了还没有理解的部分是哪里，未知数替换吗还是代入求值或者配平方？
另外如果你们学过函数图像的话也可以画一下，还有求导公式的方法，都可以求函数最值
求函数f(x)=sin²x+sin2x-cos²x(0≤x≤π)的（1）最大值和最小值及相应的x值（
设a为实数,函数f(x）=x|x-a|.当0≤X≤1时,求f(X)的最大值
已知x满足8≤x≤32,求函数f(x)=log2 x/8·(log2 x-1)的最大值和最小值
已知f(x)=2+log3^x(1/81≤x≤9),求函数g(x)=[f(x)]^2+f(x^2)的最大值和最小值
已知fx=1+㏒2(x)（1≤x≤4）,求函数gx=f²(x)+f(x²)的最大值与最小值
已知函数f(x)=cos²x+sinxcosx.（1）求函数f(x)的最大值;
求函数f(x)=根号（x+1)-根号（1-x）的最大值和最小值
28（6）：函数f(x)={log2(x),(x＞0);-x²-2x+1,x≤0},若关于x的方程f[f(x)
已知函数f(x)=-x的平方+4x+a,x∈［0,1］,若f(x)有最小值-2,求f(x)的最大值
已知函数f(x)=x/x2+1,求f(x)的最大值与最小值
函数f(x)=ln(x+1)-f(0)x-f’（0）x²+2,若f(x)≤x²+ax+b,求(b-3
已知函数f(x)=|x-8|-|x-4| （1）求函数y=f(x)的最大值 （2）解不等式f(x)>2