已知：在四边形ABCD中，AB=4cm，点E、F、G、H分别按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同时出发，以1cm/秒

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 06:09:43

已知：在四边形ABCD中，AB=4cm，点E、F、G、H分别按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同时出发，以1cm/秒的速度匀速运动，在运动过程中，设四边形EFGH的面积为Scm²，运动时间为t秒（0≤t≤4）．

（1）当四边形ABCD为正方形时，如图1所示，
①求证：四边形EFGH是正方形；
②在某一时刻，把图1的四个直角三角形剪下来，拼成如图所示的正方形A₁B₁C₁D₁，且它的面积为10cm²．求中间正方形E₁F₁G₁H₁的面积．
（2）当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，如图3所示．在运动过程中，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

（1）①∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同，
∴AE=BF=CG=DH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DA，
∴EB=HA，
在△AEH和△BFE中，

AE=BF
∠A=∠B=90°
HA=EB，
∴△AEH≌△BFE（SAS），
∴EH=FE（全等三角形的对应边相等），
同理可得：EH=FE=GF=HG，
∴四边形EFGH是菱形，
又∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）；
②∵正方形ABCD边长为4cm，正方形A₁B₁C₁D₁的面积为10cm²，
∴S_{正方形ABCD}=16cm²，正方形A₁B₁C₁D₁的边长为
10cm，即HE=
10cm，
∴S_{正方形EFGH}=10cm²，
∴S_{四个直角三角形}=16-10=6cm²，
则正方形E₁F₁G₁H₁的面积S=10-6=4cm²；
（2）四边形EFGH的面积存在最小值，理由如下：
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延长线于N，
设运动t秒后，四边形EFGH的面积S取最小值，则AE=t，AH=4-t，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=
1
2AH=
1
2（4-t），
同理可得FN=
1
2BF=
1
2t，
故S_△AEH=
1
2AE•HM=
1
4t（4-t），S_△EBF=
1
2EB•FN=
1
4t（4-t），
又S_{正方形ABCD}=4×2=8，
∴四边形EFGH的面积S=8-4•
1
4t（4-t）=t²-4t+8=（t-2）²+4，
当t=2秒时，四边形EFGH的面积取最小值等于4cm²．

在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=4cm,点E、F、G、H开始时分别从点A、B、C、D处同时出发,点E、G分别按A→ 如图A,B,C,D为矩形4个顶点,AD=4cm,AB=dcm.动点E F 分别从点D.B同时出发,点E以1cm/s的速度 1.已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动,同时点F从点C 如图,在长方形ABCD中,AB=4cm,BC=3cm,点P从点B出发,以1cm/s的速度沿B-C-D-A的方向运动至点A 如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向如图所示,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm.点P从点D出发向点A运动,同时点Q从点B出发.它们的速度都是1c 初三动点题如图,在平行四边形ABCD中,AB=4cm,BC=2cm,∠A=60°,动点P、D分别从B、C同时出发,P以每在三角形ABC中,AB=AC=12cm,BC=6cm,D为AC的中点,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿B→A→C的在△ABC中,AB=AC=BC=12cm,BC=6cm,D为BC的中点,懂点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿B→A→C 4.如图（1）,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm.点P从A点出发,沿A→B→C→D路线运动,到D停止；点Q 如图所示,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm.点P从点D出发向点A运动,同时点Q从点B出发向点C运动,点PQ的如图,A、B、C、D为矩形ABCD的四个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3c