如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,0）．抛物线y=- 49x2+bx+c经过A

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 12:17:59

如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,0）．抛物线y=- 49x2+bx+c经过A、C两点,与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合）,点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值；
②当S最大时,在抛物线y=- 49x2+bx+c的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在,请说明理由．

先画个草图,按照我的解答标注,我做了四个辅助点,分别为G、H、M、N,步骤里能提到!
1、将点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,0）带入y=- 49x2+bx+c,解方程求得b=878/3,c=8,抛物线的函数表达式y=- 49x2+878/3x+8
2、设Q点坐标为（a,b）,过Q点向OA做辅助垂线,设交点为G,则因为△AGQ∽△AOC,故对应边成比例,即GQ/OC=AQ\AC,根据勾股定理求得AC=10,又因为GQ=a,oc=6,AQ=m,带入即得到a/6=m/10,求得a=3/5m.
再过Q点做BC的辅助垂线,设交点为H,△CPQ的面积为S=1/2CP*QH,
因为QH=OC-GQ=6-a=6-3/5m,CP=m,带入得出S=1/2m（6-3/5m）,
化简得出S=-3/10m^2+3m,根据表达式得知,其为开口向下的二次函数,则顶点纵坐标即为S最大值,根据Y=aX^2+bX+c,二次函数的顶点坐标公式（x,y）为( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a ),与标准表达式对照,得出a=-3/10,b=3,c=0,带入公式求出,m=5时,S最大值=7.5
3、y=ax^2+bx+c,对称轴为x=-b/2a,X=439/147,F点字表为（439/147,y）,D点坐标为（878/147,8）Q点坐标（3,4）设对称轴交AB于M点,交GH于N点,因为∠MFD+∠DFQ+∠NFQ=180°,只要满足∠MFD+∠NFQ=90°即得到△FDQ为直角三角形,故求证△DMF∽△FNQ即可,对应边成比例即可,MP/NF=MF/QN,带入求得一元二次方程y^2-12y+32-878/147^2=0,因为b^2-4ac>0,所以y存在,y=[-b±根号(b^2-4ac)]/2a=6±1/147√85558,
所以存在两个F点,坐标为（439/147,6±1/147√85558）注：这两个F点,无限接近点M和点N