作业帮用数学归纳法证明：X的(2n-1)次方 +Y的（2n-1)次方能被X+Y整除
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 23:57:24
用数学归纳法证明：
X的(2n-1)次方 +Y的（2n-1)次方能被X+Y整除
X的(2n-1)次方 +Y的（2n-1)次方能被X+Y整除
证明：（1）当n=1时,x^(2n-1)+y^(2n-1)=x+y
∴x^(2n-1)+y^(2n-1）能被（x+y）整除
故命题成立.
（2）假设当n=k时,x^(2k-1)+y^(2k-1）能被（x+y）整除
当n=k+1时,
有x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x²*x^(2k-1)+x²*y^(2k-1)+y²y^(2k-1)-x²*y^(2k-1)
=x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y²-x²)y^(2k-1)
=x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y-x)(x+y)y^(2k-1)
∵由假设知x^(2k-1)+y^(2k-1)能被（x+y）整除
显然x+y能被（x+y）整除
∴x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y-x)(x+y)y^(2k-1)能被（x+y）整除
故x^(2k+1)+y^(2k+1)能被（x+y）整除
∴由数学归纳法知x^(2n-1)+y^(2n-1）能被（x+y）整除.
∴x^(2n-1)+y^(2n-1）能被（x+y）整除
故命题成立.
（2）假设当n=k时,x^(2k-1)+y^(2k-1）能被（x+y）整除
当n=k+1时,
有x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x²*x^(2k-1)+x²*y^(2k-1)+y²y^(2k-1)-x²*y^(2k-1)
=x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y²-x²)y^(2k-1)
=x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y-x)(x+y)y^(2k-1)
∵由假设知x^(2k-1)+y^(2k-1)能被（x+y）整除
显然x+y能被（x+y）整除
∴x²[x^(2k-1)+y^(2k-1)]+(y-x)(x+y)y^(2k-1)能被（x+y）整除
故x^(2k+1)+y^(2k+1)能被（x+y）整除
∴由数学归纳法知x^(2n-1)+y^(2n-1）能被（x+y）整除.
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