如图,P为等边三角形ABC内的一点,角BPC=150度,(1)求证：PA的平方=PB的平方+PC的平方；（2）若P为等边

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 04:55:43

如图,P为等边三角形ABC内的一点,角BPC=150度,(1)求证：PA的平方=PB的平方+PC的平方；（2）若P为等边三角形ABC外的一点,角BPC=30度则（1）中的结论是否成立?请说明理由

证明：
在△ABC外侧(BC的下方)找一点D,使∠DBC=∠ABP且BD=BP 连接BD、BP、CD
∵∠DBC=∠ABP
∴∠ABC=∠PBD=60°
∵BD=BP
∴△BDP是等边三角形
∴∠BPD=60°
∵∠BPC=150°
∴∠CPD=∠BPC-∠BPD=90°
∴PD²+PC²=CD²
△ABP≌△CBD (AB=AC ∠ABP=∠CBD BD=BD)
∴PA=CD PB=PD(△PBD是等边三角形)
代入PD²+PC²=CD² 得
PA²=PB²+PC²
证：
在△PBC外侧,以PC为边作等边三角形PCD,连接PA,BD
大致思路：AC=BC,∠ACP=∠BCD,PC=DC
得△ACP≌△BCD,→AP=BD
Rt△BPD中,∠BPD=∠BPC+∠CPD=90°
→PB²+PD²=BD² + PC=PD →PB²+PC²=PA²
∵等边三角形ABC中
∴AC=BC（等边三角形各边相等）
∴∠ACB=60°（等边三角形各角60°）
同理,PC=DC=PD,∠CPD=∠PCD=60°
∴∠ACB=∠PCD（等量代换）
∴∠ACB+∠BCP=∠PCD+∠BCP（等式性质）
即∠ACP=∠BCD
在△ACP与△BCD中
AC=BC
∠ACP=∠BCD
PC=DC
∴△ACP≌△BCD（SAS）
∴AP=BD（全等三角形对应边相等）
∵∠BPC=30°
∴∠BPD=∠BPC+∠PCD
=30°+60°
=90°
∴Rt△BPD中,PB²+PD²=BD²（勾股定理）
∴PB²+PC²=PA²（等量代换）

点P为等边三角形ABC内一点.PA平方=PB平方+PC平方,求角BPC度数在等边三角形ABC中,P为等边△ABC外一点,当PB=PC且∠BPC=120°时,点P的位置如图1,易证PB+PC=PA 在等边三角形abc内取一点p,使角bpc=150度,求证以pa,pb,pc为边的三角形为直角三角形如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC等于150°，PC=5，PB=12，求PA的长．如图,点P为等边三角形ABC内一点,且PC:PB:PA=3:4:5.求角BPC的度数. 如图,P为等边三角形ABC内任意一点,连接PA,PB,PC,求证：（1）PA+PB+PC＞二分之三倍的AB；如图,已知三角形ABC是等边三角形,P是三角形内一点,∠BPC=150°,PB=2,PC=1,求PA的长 (1)如图1说是,弱P为等边三角形ABC内一点,∠BPC=150°,求证;PA²+PB²=PC 如图,在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,P为BC上一点,求证2PA的平方=PB的平方+PC的平方已知P为等边三角形ABC内的一点,且PA∧2=PB∧2+PC∧2,求角BPC的度数. 如图,P时候长方形ABCD内的一点,求证：PA的平方+PC的平方=PB的平方+PD的平方要容易理解的, 如图,P是等边△ABC内的一点,且PA=4,PB=2根号3,PC=2.求（1）∠BPC、∠APB的度数（2）S△ABC