（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=ax−bx−2lnx，f(1)＝0．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/12 14:58:44

（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=ax−

−2lnx，f(1)＝0

（1）∵f （1）=a-b=0，
∴a=b，
∴f′（x）=a+
a
x2−
2
x．
要使函数f （x）在其定义域内为单调函数，则∀x∈（0，+∞）内f′（x）=a+
a
x2−
2
x≥0，
或f′（x）=a+
a
x2−
2
x≤0恒成立
∵f′(x)＝
ax2+a−2x
x2
由f′（x）≥0得a≥
2x
x2+1而
2x
x2+1≤
2x
2x＝1
∴a≥1由f′（x）≤0得a≤
2x
x2+1而
2x
x2+1＞0
∴a≤0经验证a=0及a=1均合题意，故a≤0或a≥1
∴所求实数a的取值范围为a≥1或a≤0．（5分）
（2）∵函数f （x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得a=1，
∴f′（x）=(
1
x−1)2，
∴a_n+1=f′(
1
an+1)−nan+1＝
a2n−nan+1．（7分）
①用数学归纳法证明：（i）当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（ii）假设当n=k时不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k （a_k-k）+1≥2 （k+2）+1=（k+3）+k+2＞k+3，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2．根据（i）和（ii），对于所有n≥1，有a_n≥n+2．（10分）
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①对k≥2都有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
∴a_k+1≥2（a_k-1+1）≥2²（a_k-2+1）≥2³（a_k-3+1）≥…≥2^k-1（a₁+1）
而
1
1+a1＝
1
5
于是当k≥2时，
1
1+ak≤
1
5•
1
2k−1
∴

（2012•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝lnx−12ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．（2013•怀化二模）已知函数f(x)＝ax−bx−2lnx，f(1)＝0．（2012•信阳模拟）已知函数f(x)＝1−xax+lnx．已知函数f（x）=lnx+ax平方+bx （2012•蓝山县模拟）设函数f(x)=13ax3+bx+cx(a≠0)，已知a＜b＜c，且0≤ba＜1，曲线y=f（x （2011•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝13ax3+12bx2+cx（a＞0）．已知函数f(x)=lnx-ax^2-bx （2012•河南模拟）已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底（2012•荆州模拟）已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），已知函数f（x）=lnx−ax 已知函数f（x）=lnx-ax+1−ax 已知函数f（x）=lnx-ax．