有一函数,f：R→R 满足关系式 f（2x）=2f（x）/（1+f²（x））

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 02:06:45

有一函数,f：R→R 满足关系式 f（2x）=2f（x）/（1+f²（x））
以下几个问题是独立的
哪些函数是可导的,满足上面的关系式,且f（0）=±1
若f（0)=0,求证x∈R,f（x）∈]﹣1,1[
若g（2x）=2g（x）,数列an=2^ng（2^n/x)/x
求证该数列是收敛数列
原题是法文的,可能在翻译过程中有专业词上的误差,如有疑问,可以留言.
第三图数列的表达式是图片中的Vn的表达式

第一题我会算,如果f(0)=1,则f(x)=1（常数函数）,如果f(0)=-1,则f(x)=-1（常数函数）.
不妨设f(0)=1,则因为f(2x)和f(x)同号,可推出：f(x)>0,对所有x成立.大致思路：f(x)和f(x/2)同号,也就是和f(x/4)同号,递推下去和f(x/2^k)同号.当k趋向无穷大时,f(x/2^k)应该是正号,因为x/2^k接近0,而f(x)在x=0处连续,所以一路反推回来,f(x)也必须是正号.
这样的话,还可以推出01,这个方程去解f(x/2),是没有实数解的.
最后证明所有f(x)=1.如果不然,存在某x0,满足f(x0)
再问：你好，你前面的答案对我的帮助很大。谢谢你。因为没有打不出数学符号，所以表达式不清楚。我现在把原题图发上来，若方便的话还请帮忙解答一下。
再答：看不懂法文，g(x)有什么性质？g(2x)=2g(x)？题目里好像没有写啊。
再问：原本是好多题目的，上文提到g(2x)=2g(x)，然后有数列，第n项的表达式在图片中，需求证该数列是收敛函数。请问方便加Q吗？我的QQ号 584525075
再答： g(x/2^n)=2g(x/2^(n+1)) 所以v(n)=2^n/x g(x/2^n)=2^n/x 2g(x/2^(n+1))=2^(n+1)/x g(x/2^(n+1))=v(n+1)，所以收敛？若满意，请采纳，谢谢。
再问：好吧，其实你算出来和我算出来的是一样的，只不过我求不出极限，以为自己的证明的结论Vn=Vn+1 是错的。谢谢你的耐心解答。

定义在R上函数f（x）满足条件：f（x+2）=1f(x) （高一数学）已知定义在R上的函数f(x)满足f[f(x)-x ² +x]=f(x)-x ² +x. 已知函数f（x）满足2f（x）+f(1/x)=2x,且x∈R,≠0,则f（x）= 若定义域为R函数f(x)满足f(x+y)=2*f(x)*f(y),且f(0)不等于0,证明f（x）是偶函数定义在R上的单调函数f（x）满足任意X,Y均有f（x+y）=f(x)+f(y)且f(1)=1 解不等式：f(x-x^2+ 定义域为R的函数f（x）满足f（x）+2f（-x）=2x+1，则f（x）=（　　）设定义域在R上的函数f(x)满足f(x)乘f(x+2）=13,若f(1)=2,则f(99)=? 已知函数f（x）在定义域R上满足f(x)*f(x+2)=13 若f(1)=2 求f(99)的值已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f 设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又函数g 已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x 已知函数f(x)是定义域在R+上的减函数且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(根号2）=1