已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x>0时,f
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 06:15:47
已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x>0时,f(x)>2,
(1)求f(0)的值,并证明:当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减,求实数k的取值范围.
(1)求f(0)的值,并证明:当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减,求实数k的取值范围.
(1)∵f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2令x=y=0,
f(0)=f(0)•f(0)-f(0)-f(0)+2
∴f2(0)-3f(0)+2=0,f(0)=2或 f(0)=1
若 f(0)=1
则 f(1)=f(1+0)=f(1)•f(0)-f(1)-f(0)+2=1,
与已知条件x>0时,f(x)>2相矛盾,∴f(0)=2 (1分)
设x<0,则-x>0,那么f(-x)>2
又2=f(0)=f(x-x)=f(x)•f(-x)-f(x)-f(-x)+2
∴f(x)=
f(−x)
f(−x)−1=1+
1
f(−x)−1
∵f(-x)>2
,∴0<
1
f(−x)−1<1,从而1<f(x)<2(3分)
(2)函数f(x)在R上是增函数
设x1<x2则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>2
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2
=f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2
∵由(1)可知对x∈R,f(x)>1,∴f(x1)-1>0,又f(x2-x1)>2
∴f(x2-x1)•[f(x1)-1]>2f(x1)-2
f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2>f(x1)
即f(x2)>f(x1)
∴函数f(x)在R上是增函数 (3分)
(3)∵由(2)函数f(x)在R上是增函数
∴函数y=f(x)-k在R上也是增函数
若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减
则x∈(-∞,0)时,g(x)=|f(x)-k|=k-f(x)
即x∈(-∞,0)时,f(x)-k<0,
∵x∈(-∞,0)时,f(x)<f(0)=2,∴k≥2(3分)
f(0)=f(0)•f(0)-f(0)-f(0)+2
∴f2(0)-3f(0)+2=0,f(0)=2或 f(0)=1
若 f(0)=1
则 f(1)=f(1+0)=f(1)•f(0)-f(1)-f(0)+2=1,
与已知条件x>0时,f(x)>2相矛盾,∴f(0)=2 (1分)
设x<0,则-x>0,那么f(-x)>2
又2=f(0)=f(x-x)=f(x)•f(-x)-f(x)-f(-x)+2
∴f(x)=
f(−x)
f(−x)−1=1+
1
f(−x)−1
∵f(-x)>2
,∴0<
1
f(−x)−1<1,从而1<f(x)<2(3分)
(2)函数f(x)在R上是增函数
设x1<x2则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>2
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2
=f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2
∵由(1)可知对x∈R,f(x)>1,∴f(x1)-1>0,又f(x2-x1)>2
∴f(x2-x1)•[f(x1)-1]>2f(x1)-2
f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2>f(x1)
即f(x2)>f(x1)
∴函数f(x)在R上是增函数 (3分)
(3)∵由(2)函数f(x)在R上是增函数
∴函数y=f(x)-k在R上也是增函数
若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减
则x∈(-∞,0)时,g(x)=|f(x)-k|=k-f(x)
即x∈(-∞,0)时,f(x)-k<0,
∵x∈(-∞,0)时,f(x)<f(0)=2,∴k≥2(3分)
已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x>0时,f
已知函数f(x)对于任意的x,y∈R都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时f(x)>0恒成立 证明f(x)
已知函数f(x)定义域在R上的函数,且对任意的x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立.当x>0时,f(x)>
已知f(x)对任意x、y(属于R)满足f(x)+f(y)=f(x+y) 且当x>0时,f(x)
已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x>0都有f(x)<0
已知函数f(x)对任意x、y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x<0时,f(x)<0,f(1)<-2∕3.
定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)≠0,判断f(x
定义域R的的函数f(x)满足:对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当X>0时f(x)
已知函数满足对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x2,证明x
定义在R上的函数f(x)满足:对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2011且当x>0时,有f(x
定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)
函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)恒成立