作业帮设p为质数,n为正整数 证明n^n在域Z_p里成周期性
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 12:59:07
设p为质数,n为正整数 证明n^n在域Z_p里成周期性
如果只是要模p同余的话,p(p-1)肯定会是一个周期.
因为(n+p(p-1))^(n+p(p-1))=n^(n+p(p-1))=n^n*n^(p(p-1)) (mod p)
如果p|n,显然(n+p(p-1))^(n+p(p-1))=n^n=0 (mod p).
如果p不|n,则(n+p(p-1))^(n+p(p-1))=n^n*(n^(p-1))^p=n^n*1^p=n^n (mod p).
再问： 那最小的周期是什么
再答： 应该就是p(p-1)，理由如下： n^n里每p个数里才出现一个余0的情况（当p|n时），因此周期必然是p的倍数。 设周期T=p*k，k为正整数，则(n+T)^(n+T)=n^(n+T)=n^n*n^T=n^n*n^(p*k)=(n^n)*(n^p)^k=(n^n)*(n^k)(mod p)。这里用到了费马小定理，n^p=n(mod p)。 因此，p|n^n*(n^k-1)对任意n都成立。p|n的情况自然成立，无需讨论。 当p不|n时，就代表了p|(n^k-1)。把n取成原根，则代表(p-1)|k， 所以T>=p(p-1)。
因为(n+p(p-1))^(n+p(p-1))=n^(n+p(p-1))=n^n*n^(p(p-1)) (mod p)
如果p|n,显然(n+p(p-1))^(n+p(p-1))=n^n=0 (mod p).
如果p不|n,则(n+p(p-1))^(n+p(p-1))=n^n*(n^(p-1))^p=n^n*1^p=n^n (mod p).
再问： 那最小的周期是什么
再答： 应该就是p(p-1)，理由如下： n^n里每p个数里才出现一个余0的情况（当p|n时），因此周期必然是p的倍数。 设周期T=p*k，k为正整数，则(n+T)^(n+T)=n^(n+T)=n^n*n^T=n^n*n^(p*k)=(n^n)*(n^p)^k=(n^n)*(n^k)(mod p)。这里用到了费马小定理，n^p=n(mod p)。 因此，p|n^n*(n^k-1)对任意n都成立。p|n的情况自然成立，无需讨论。 当p不|n时，就代表了p|(n^k-1)。把n取成原根，则代表(p-1)|k， 所以T>=p(p-1)。