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已知自然数a,b,c的最大公约数是1,且a^2+b^2=c^2

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/27 21:12:14
已知自然数a,b,c的最大公约数是1,且a^2+b^2=c^2
求证:(1)c必为奇数
(2)a与b只能是一积一偶
用反证法:假设c为偶数
∵(a,b,c)=1,a²+b²=c²
∴a,b均为奇数,否则a,b,c有公约数2
∴a²≡b²≡1(mod 4)
a²+b²≡2(mod 4)
但c²≡0(mod 4),矛盾!
∴c为奇数
∵a²+b²=c²
∴a²,b²一奇一偶
a与b只能是一奇一偶