如图,设P为△ABC内一点,且有∠PAC=∠PBC,过P作BC、AC的垂线,垂足为L、M,D是AB的中点,求证：DM=D

如图,设P为△ABC内一点,且有∠PAC=∠PBC,过P作BC、AC的垂线,垂足为L、M,D是AB的中点,求证：DM=DL.

虽然已经有许多人给出了正确答案,但是我仍想说一下我的思路以及从此题上得到的经验.
1、做几何题可以从最基本的量（如三角形的三条边或三个角）开始然后找到题目中提及的各个量是如何由这些基本的量决定的.此题中在决定了A、B、C、D（中点D虽然由A、B、C决定,但它过于平凡,所以也可以认为是“基本”的量）然后开始想如何来“定”出点P.
显然,点P要满足题目中说的条件.那么如果不使用量角器,我们应该如何定出P?
 
这里要插一句,之所以想不使用量角器来做作图定出P是为理清各边、角之间的关系,换句话说如果我们知道了如何来定出P,那么很有可能蕴涵在题目后面的某些重要关系就很明显了.
 
为定出P,很明显P是有任意性的,而且一合适的P能够唯一决定其在BC上的垂足L（或同样AC上的垂足M）,这就启发我们可以将此任意性移到L上去,先在BC上任意决定一L,然后过它作垂线,然后试图在此垂线上找点P使其满足题目的条件即∠PAC=∠PBC.
 
由于这里牵涉到两角相等,又牵涉到垂线,我自然地联想到了对称点（就如同给定两点与一直线,如何在直线上找点使其到两点的距离和极小）所以就有图一中的点E,即点B关于过L的垂线的对称点.
 
观察此图,我发现了一些值得注意的地方.一是由于E是B的对称点,所以EL=BL,从而EA平行于LD,且EA=2LD.二是∠ECA=∠EPA,为什么会关心这?因为这里∠ECA是角C的外角,即虽然∠EPA是与B的对称点相关的,但是∠ECA却很“一般”,没有体现出B的对称点的特殊性来,换句话说如果B的对称点E有这性质,那么A关于M的对称点也会有同样的性质,即应该也会有某个角等于角C的外角.也即通过对称点B得到的一些角中会有一角（∠EPA）和通过对称点A得到的一些角的一角相等.这就启发我们利用这一对相等的角可以得到一些重要的东西.
 
至此,虽然仍然没有确切地知道点P如何定出,但是似乎对B和A分别作对称点能够得到一些重要的东西.所以有图二.正如预料的∠EPA=∠ECA=角C的外角=∠FCL=∠BPF（最后一等号利用了∠CFP=∠FAP=∠EBP,其实是和图一完全相仿的逻辑）,然后围绕此角,我们很容易注意到由对称性带来的性质即AP=FP与EP=PB,到这里,我想该证的东西应该很显然了.即△EPA≌△BPF,从而EA=BF,再注意到EA是两倍的DL,BF是两倍的DM,从而命题得证.

2、总结上述的过程可以看见由“基本量”出发找出各“被决定量”与基本量之间的关系可以帮助看见题目或图形中本质的东西.这也即为什么许多人给出了答案但我仍然说这么多的原因.
3、如果将此命题逆一下,其实也成立.即如果D是△ABC边AB的中点,L、M分别在边BC与AC上,且DL=DM,那么过L与M的两垂线的交点P具有性质∠PAC=∠PBC.证明其实很显然,依然是靠△EPA≌△BPF,但是此时利用的是“边边边”的关系而非之前的“边角边”的关系.再由全等知道∠EPA=∠BPF,两角再同时加∠EPF即得∠FPA=∠BPE.注意到△FPA与△BPE都为等腰三角形,所以逆命题也成立.
4、如图三及上面关于逆命题的描述,此题的一副产品是告诉了我们如何在三角形中找点P使∠PAC=∠PBC成立.如果下次遇到有这一性质的题,就很容易知道其中各边角之间的关系了.