设A和B都是m*n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明A^TA+B^TB正定

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/01 08:32:56

证明:显然A^TA+B^TB是对称矩阵.
设D=[A;B],即D为上下两块的分块矩阵,是2m*n实矩阵
则A,B的行向量都可由D的行向量线性表示
所以A+B的行向量都可由D的行向量线性表示
所以 r(A+B)=0,且等号成立的充要条件是Ax=0
x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)>=0,且等号成立的充要条件是Bx=0
综上有:对任一n维非零列向量x
x^T(A^TA+B^TB)x = (Ax)^T(Ax)+(Bx)^T(Bx) >0.
所以 A^TA+B^TB正定.

设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A) 设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明：B^tAB为正定阵的充要条件为R（B）=n 设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n 设A,B均是n阶正定矩阵,证明A+B是正定矩阵设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵. 设AB均是n阶实对称矩阵,其中A正定,证明存在实数t使tA+B是正定矩阵设A和B是n阶正定矩阵,证明:A合同于B 设A、B都是n阶矩阵,且AB=O,证明R(A)+R(B) 设A为m*n实矩阵,A^TA为正定矩阵,证明:线性方程组AX=0只有零解. 设A,B均是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B是半正定矩阵,证明|A+B|＞|B|