已知圆C：x^2+（y-1）^2=1,（1）点P（X,Y）是直线L：kx+y+4=0（k>0）上一动点,PM、PN是圆C

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 16:26:02

已知圆C：x^2+（y-1）^2=1,（1）点P（X,Y）是直线L：kx+y+4=0（k>0）上一动点,PM、PN是圆C的两条切线,M、N为切点,求当四边形PMCN面积最小值为2时k的值.（2）设A、B是圆C：x^2+（y-1）^2=1上两点,且满足∣OA∣∣OB∣=1(0为坐标原点),试问是否存在圆心在原点的定圆S与直线AB恒相切.

（1）设点P的坐标为(xp,yp),连接PC.
则PC^2=xp^2+(yp-1)^2
由题可知圆C的半径为1
∴PM^2=PN^2=PC^2-1=xp^2+yp^2-2*yp
四边形PMCN的面积S=⊿PCM的面积+⊿PCN的面积
∴S^2= xp^2+yp^2-2*yp
∵k*xp+yp+4=0
∴S^2= xp^2+(-k*xp-4)^2-2*(-k*xp-4)
=(1+k^2)*xp^2+10*k*xp+24
由二次曲线方程性质可知,当xp=-10*k/[2*(1+k^2)]时,S有最小值.
Smin^2=(1+k^2)*{-10*k/[2*(1+k^2)]}^2+10*k*{-10*k/[2*(1+k^2)]}+24
=-25*k^2/(1+k^2)+24
∵Smin^2=4
∴-25*k^2/(1+k^2)+24=4
解得k^2=4,
∵k>0
∴k=2
（2）设点A的坐标为(xa,ya),点B的坐标为(xb,yb)
则有xa^2+(ya-1)^2=1
∴2*ya=xa^2+ya^2(等式1)
xa^2=2*ya-ya^2(等式2)
同理2*yb=xb^2+yb^2(等式3)
xb^2=2*yb-yb^2(等式4)
∵∣OA∣∣OB∣=1
∴(xa^2+ya^2)*( xb^2+yb^2)=1
由等式1、3得到4*ya*yb=1(等式5)
设直线AB的方程式为y=kx+b
由直线性质可知,该直线到坐标原点O的距离h=|b|/√(1+k^2)
∵ya=k*xa+b,yb=k*xb+b
假设xa≠xb,解方程组得到
k=(ya-yb)/(xa-xb)
b=(yb*xa-ya*xb)/(xa-xb)
则h^2=( yb*xa-ya*xb)^2/[(xa-xb)^2+(ya-yb)^2]
=(yb^2*xa^2-2*xa*xb*ya*yb+ya^2*xb^2)/(xa^2-2*xa*xb+xb^2+ya^2-2*ya*yb+yb^2)
将等式2、4、5代入上式中,得到：
h^2=[(ya+yb)/2-xa*xb/2-1/8]/[2*(ya+yb)-2*xa*xb-1/2]
=1/4
h=1/2
因此,圆心在O,半径为1/2的定圆始终与直线AB相切.
当xa=xb=±1/2时,直线AB垂直X轴,则ya=1+√3/2,yb=1-√3/2
ya*yb=1/4,满足题设条件,半径为1/2的圆与直线AB相切.
所以,圆心在原点的半径为1/2的定圆与直线AB恒相切.

已知点P（x,y）是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C：x^2+y^2-2y=0的两条切线,A,B 已知圆C:x^2+y^2=4和直线L:3x+4y+12=0,点P是圆C上的一动点,直线与坐标轴的焦点分别为点A,B.(1 已知点p(-2,2)和圆c:x方+Y方+2x=0 (1)求过p点的c的切线方程（2）若（x,Y)是园c上一动点,由（1） 1已知点P(X,Y)是KX+Y+4=0(K＞0)上一动点,PA,PB是圆Cx^2+y^2-2y=0的两条切线,A,B是切已知圆C经过点A（-2,0）,B（0,2）,且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P,Q两点. 已知圆M：x2+（y-4）2=4,直线l的方程为x-2y=0,点P是直线l上一动点,过点P作圆的切线PA、PB,切点为A 已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0直线L:y=kx,且L与圆C相交于P Q两点,已知点M（0,b）且MP垂直M 已知P在直线l:x+y-1=0上,Q在圆C:(x-2)2+(y-2)2=1上.(1)过P作圆C的切线PM,PN,切点已知N(根号5,0),点p是圆M:(x+根号5)^2+y^2=36上一动点,线段PN的垂直平分线l交PM于Q点已知直线l ：x-y-1=0与圆C：（x-3）方+（y-4）方=2相切于点P,过点P 已知圆C: x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线L:y=kx,且L与圆C交与P、Q两点,点M（0,b）满足MP垂直M 已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且l与圆C相交于P、Q两点,点M（0,b）,且MP⊥MQ