12月9日数学19.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=AA1=2,∠ACB=90°,E是BB1的中点,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 15:12:56

12月9日数学19.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=AA1=2,∠ACB=90°,E是BB1的中点,
D∈AB,∠A₁DE=90°,
（II）求二面角D-A₁C-A的余弦值的大小.

建立直角坐标系：以C点为原点,CA所在直线为横坐标(X),CB所在直线为纵坐标(Y),以CC1所在直线为竖坐标(Z).,有关点的坐标为：
C(0,0),A(2,00),B(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),D(1,1,0),E(0,2,1)
(1) 求证：CD ⊥平面A1DE.
证：.向量CD=(1,1,0),向量A1D=(1,1,0)-(2,0,2)=(-1,1,-2),向量DE=(0,2,1)-(1,1,0)=(-1,1,1).
向量CD.向量A1D=(1,1,0).(-1,1,-2)=1*(-1)+1*1+0*(-2)=-1+1=0.
∴向量CD⊥向量A1D,即线段CD⊥线段A1D.
向量CD.向量DE=(1,1,0).(-1,1,1)=1*(-1)+1*1+0*1=0.
∴向量CD⊥ 向量DE,即线段CD⊥线段DE.∵A1D∈平面AB1,DE∈平面A1B,且A1D∩DE=D.
∴CD ⊥平面A1DE.
(2)已知：向量CA1=(2,02),向量CD=(1,1,0).
在平面A1DC(O)上,任作一法线向量n=(x,y,z).
∵CD∈平面A1DC,CA1∈平面A1DC.∴向量n⊥向量CD,向量n⊥向量CA1.
即（x,y,z).(1,1,0)=0,x+y=0 (1).
(x,y,z).(2,0,2)=0,2x+2z=0 (2).\
由（2）得：x=-z,取z=1,则x=-1,y=1.
∴向量n=(-1,1,1).
又∵CB⊥平面AC1,向量CB=(0,2,0)就是平面AC1的一个法向向量.
向量n与向量CB的夹角即为所求的二面角D-A1CA的平面角.
|向量n|=√[(-1)^2+1^2+1^2)]=√3.
|向量CB|＝√(0+2^2+0)=2.n.CB=(-1,1,1).(0,2,0)=2.
cos=n.CB/|n|*|CB|=2/(2*√3)=√3/3.---即为所求的二面角的平面角的余弦值.