求3x^2+[1/(2x^2)]（x≠0）的最小值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/07 02:54:09

求3x^2+[1/(2x^2)]（x≠0）的最小值
我想问下为什么这道题用a+b >= 2√ab做不对.
比如：
3x^2 + [ 1/(2x^2) ] ≥ 2√3x^2 * [ 1/(2x^2) ]
≥ 2√3/2
最小值应该就是这个啊.
可能还要考虑x≠0这个情况,但x^2 > 0,所以3x^2和2x^2也就大于0.

求3x^2+(1/2x^2)（x≠0）的最小值
解一：3x²+(1/2x²)≥2√(3/2)=√6,当且仅仅当3x²=1/2x²,即x⁴=1/6,x²=1/√6时等号成立.
解二：设y=3x²+(1/2x²),令y′＝6x+(1/2)(-2x/x⁴)=6x-1/x³=(6x⁴-1)/x³=0,
故得驻点x²=1/√6,且x²0,故x²=1/√6是极小点,于是得y的最小
值为3/√6+√6/2=(6+6)/2√6=6/√6=√6.
【两种方法都是对的!“为什么这道题用a+b >= 2√ab做不对?”这里没有用这个,而是用的
a²+b²≥2ab,这两个式子有点微妙的区别：前者适用于a,b>0；而后者适用于a,b∈R.】
【x→0limy=+∞,因此无需考虑x=0的问题.因为我们是求最小值,不是求最大值.此题无最
大值.】
再问：如果这样解，那我的方法不是也对吗？我只不过没有化简而已。毕竟我的2√3/2=√6
再答：当然是对的！谁说你错了？

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