如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A(8,0)、B(0,6)两点,P为直线l上异于A、B两点之间的一动点.且PQ∥O
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/11 18:37:51
如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A(8,0)、B(0,6)两点,P为直线l上异于A、B两点之间的一动点.且PQ∥OA交OB于点Q.
(1)若△PBQ和四边形OQPA的面积满足S四OQPA=3S△PBQ时,请你确定P点在AB上的位置,并求出线段PQ的长;
(2)在x轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,若存在,求出点M与P的坐标;若不存在,说明理由.
(1)若△PBQ和四边形OQPA的面积满足S四OQPA=3S△PBQ时,请你确定P点在AB上的位置,并求出线段PQ的长;
(2)在x轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,若存在,求出点M与P的坐标;若不存在,说明理由.
(1)∵S四OQPA=3S△PBQ,
∴S△BOA=4S△PBQ,
又∵PQ∥OA
∴S△BOA∽S△PBQ,
根据相似三角形面积比等于相似比的平方,
可得S△BOA与S△PBQ的相似比为1:2
故
PQ
OA=
1
2
即PQ=
1
2OA=4
(2)由(1)可知直线l的方程为3x+4y=24…(*)
①若△MPQ为等腰直角三角形,Q为直角顶点
则此时M点与原点重合,设Q点坐标为(0,a),则P点坐标为(a,a)
将P点坐标代入*得a=
24
7
即M,P的坐标分别为(0,0)(
24
7,
24
7)
②若△MPQ为等腰直角三角形,P为直角顶点
设Q点坐标为(0,a),则P点坐标为(a,a),M点坐标为(a,0)
将P点坐标代入*得a=
24
7
即M,P的坐标分别为(
24
7,0)(
24
7,
24
7)
③若△MPQ为等腰直角三角形,M为直角顶点
则|OM|=|OQ|=
1
2|PQ|
设Q(0,a),则M(a,0),点P坐标为(2a,a)
将P点坐标代入(*)式 得a=
12
5.
∴点M、P的坐标分别为(
12
5,0),(
24
5,
12
5)
∴S△BOA=4S△PBQ,
又∵PQ∥OA
∴S△BOA∽S△PBQ,
根据相似三角形面积比等于相似比的平方,
可得S△BOA与S△PBQ的相似比为1:2
故
PQ
OA=
1
2
即PQ=
1
2OA=4
(2)由(1)可知直线l的方程为3x+4y=24…(*)
①若△MPQ为等腰直角三角形,Q为直角顶点
则此时M点与原点重合,设Q点坐标为(0,a),则P点坐标为(a,a)
将P点坐标代入*得a=
24
7
即M,P的坐标分别为(0,0)(
24
7,
24
7)
②若△MPQ为等腰直角三角形,P为直角顶点
设Q点坐标为(0,a),则P点坐标为(a,a),M点坐标为(a,0)
将P点坐标代入*得a=
24
7
即M,P的坐标分别为(
24
7,0)(
24
7,
24
7)
③若△MPQ为等腰直角三角形,M为直角顶点
则|OM|=|OQ|=
1
2|PQ|
设Q(0,a),则M(a,0),点P坐标为(2a,a)
将P点坐标代入(*)式 得a=
12
5.
∴点M、P的坐标分别为(
12
5,0),(
24
5,
12
5)
已知直线L过点P(2.1),且与X轴Y轴正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,若L与直线y=x(x>0)交与点Q,则当
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