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来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 18:06:16
“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=
| 1 |
| x |
（1）设直线OM的函数关系式为y=kx，P（a，
1
a）、R（b，
1
b）．（1分）
则M（b，
1
a），
∴k=
1
a÷b=
1
ab．（2分）
∴直线OM的函数关系式为y=
1
abx．（3分）
（2）∵Q的坐标（a，
1
b），满足y=
1
abx，
∴点Q在直线OM上．
∵四边形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM=
1
2PR．
∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
∵PR=2OP，
∴PS=OP=
1
2PR．
∴∠POS=∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠MOB=∠SQR．（8分）
∴∠POS=2∠MOB．（9分）
∴∠MOB=
1
3∠AOB．（10分）
（3）①先做出钝角的一半，按照上述方法先将此钝角的一半（锐角）三等分，进而做出再做一个角与已做得的角相等即可得到钝角的三等分角．
②先作钝角的邻补角的三等分角，然后再以得到的三等分角作等边三角形可得钝角的三等分角，在钝角内作做出这个角即可．
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a）、R（b，
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b）．（1分）
则M（b，
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a），
∴k=
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a÷b=
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ab．（2分）
∴直线OM的函数关系式为y=
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abx．（3分）
（2）∵Q的坐标（a，
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b），满足y=
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abx，
∴点Q在直线OM上．
∵四边形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM=
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2PR．
∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
∵PR=2OP，
∴PS=OP=
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2PR．
∴∠POS=∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠MOB=∠SQR．（8分）
∴∠POS=2∠MOB．（9分）
∴∠MOB=
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3∠AOB．（10分）
（3）①先做出钝角的一半，按照上述方法先将此钝角的一半（锐角）三等分，进而做出再做一个角与已做得的角相等即可得到钝角的三等分角．
②先作钝角的邻补角的三等分角，然后再以得到的三等分角作等边三角形可得钝角的三等分角，在钝角内作做出这个角即可．
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