在齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换时,为什么一定要保证左上角r阶子式不为0?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 01:42:47

在齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换时,为什么一定要保证左上角r阶子式不为0?
我试过假设有一个三阶矩阵，其中两行元素相同，所以显然该矩阵行列式为零。我把相同的两行放在矩阵的一二行，此时左上角的2阶子式为零，然后进行初等变换成行最简型；再把相同两行分别放在矩阵的一，三行，此时左上角的2阶子式不为零，然后对其进行初等变换成行最简型；两种情况下的行最简型一样。如此看来，“r阶子式不为零”的规定不是显得毫无意义吗？

那是为了理解和论述的方便起见而如此规定.
规定r阶不为0的子式在左上角,则化为行最简式之后,矩阵中所有的1都可以从解向量中x1开始,一直到xr为止一一对应,这样便于写出通解或基础解系.
但是在实际解题过程中,有时会出现如楼主描述的那般,r阶子式不在左上角时更方便进行初等变换的情形,此时只要初等变换还是行变换就一定不会影响对应线性方程组的通解,可以随便选择,但是在写基础解系的时候需要更加小心,一定要明确行最简式中的1指的是解向量中的哪个元素.

快速求基础解系当要求一个齐次线性方程组的通解时,常先把系数矩阵A初等变换(一定要初等行变换么?若初等列变换行,那要注意什齐次线性方程组AX=0的系数矩阵经初等行变换化为A→ 1 -1 2 3 0 1 0 -2 0 0 0 0 为什么求矩阵的秩只能进行初等行变换? 解这个线性方程组,想用求系数矩阵的值的方法,可是不会初等变换这个系数矩阵. 用高斯消元法解线性方程组时,对增广矩阵的初等变换,仅限于行及交换两列的变换.这句话对吗?为什么求证：设n个未知数m个方程的其次线性方程组的系数矩阵的秩为r,齐次线性方程组有非零解的充要条件是r 设n个未知数m个方程的其次线性方程组的系数矩阵的秩为r,齐次线性方程组有非零解的充要条件是r 矩阵经过初等行变换后,特征值改变了,那为什么在求矩阵的特征值时,还能用初等行变换? 其次线性方程组非零解为什么说系数行列式的值为0时,能判断齐次线性方程组有非零解? 将矩阵初等变换得到的新矩阵,与原来的矩阵有什么联系?为什么要进行初等变换为什么线性方程组的系数矩阵只能通过行变换来求得秩? 若线性方程组AX=B的增广矩阵(A,B)经过初等行变换为(12052,00235,00a61)