不等式已知 a,b,c均为正数.证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3 ,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 11:14:45

不等式已知 a,b,c均为正数.证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3 ,
并确定a,b,c 为何值时,等号成立.

设 F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2.
最小值发生在其对a,b,c的导数均为零的时候.
对a求导数（把b和c当成无关常数）,可得
F'_a (a,b,c) = 2a - 2(1/a + 1/b + 1/c) (1/a^2) =0.
整理,可得 a^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0...(1)
同理分别对b和c求导数,得
b^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0..(2)
c^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0....(3)
所以,a=b=c.代入(1),可得,a^3 - 3/a=0,所以a=b=c=3^(1/4).
这是,可求得 F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 = 6√3.
由于这是极小值,所以 a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 >= 6√3.
a=b=c=3^(1/4) 时取等号.
再问：只能求导吗？
再答：可能还有别的方法吧。这只是我想到的。

已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+( 1 a + 1 b + 1 c )2≥6 根号3 ,并确定a,b,c 已知a,b,c是正数,a+b+c=1,证明（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3 高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2 高二不等式证明（1）已知a,b,c,是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a 已知a b c都是正数,证明a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1 已知a,b,c均为正数证明a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2大于等于六倍根号三已知a.b.c为正数,证明：a^2*b^2*c^2>=a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b) 已知a,b,c均为正数,证明：a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥6 3,并确定a,b,c为何值时,等号成立．若正数a+b+c=1则2a+3b+c最小值为?用柯西不等式如何配凑? 用柯西不等式证明2/a+b +2/b+c +2/c+a大于9/a+b+c a.b.c为互不相等的正数均值不等式证明题已知a,b,c,d均为正数,求证：b^2/a+c^2/b+d^2/c+a^2/b>=a+b+c+d 证明一道高二不等式已知a,b,c是正数,求证a^(2a)*b^(2b)*c^(2c)≥a^(b+c)*b^(a+c)*c

不等式 已知 a,b,c均为正数.证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3 ,

不等式已知 a,b,c均为正数.证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3 ,