已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 09:46:59
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立,f(3)="-3." (1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数; (2)证明:函数y=f(x)是奇函数; (3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域. |
(1)证明 设 x 1 ,x 2 ∈R,且x 1 <x 2 ,f(x 2 )=f[x 1 +(x 2 -x 1 )]=f(x 1 )+f(x 2 -x 1 ).
∵x 2 -x 1 >0,∴f(x 2 -x 1 )<0.∴f(x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 -x 1 )<f(x 1 ).
故f(x)是R上的减函数.
(2)证明 ∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,∴可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0),
又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而 x∈R,f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.
(3)解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数,故f(x)在[m,n]上的最大值f(x) max =f(m),最小值f(x) min =f(n).
由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1).
又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)="-m," f(n)=-n.
∴函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒
已知函数Y=f(x)的定义域为x∈R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0是,f(x)
函数证明题已知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0是,f
单调性 证明题已知函数y=f(x)的定义域R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f
已知函数y=f(x)的定义域为R 且对任意a,b属于R 都有f(a+b)=f(a)+(b) 且当x大于0时 f(x)小雨
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时f(x)
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于(符号打不出来)R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0
定义域在R上的函数y=f(x),有f(x)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b属于R,都有f(a+b)=f(