求表面积为a^2而体积为最大的长方形的体积.详细过程'简单易懂的拉格朗日乘数的解释'谢谢

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 07:04:56

体积最大,所以是正方形,所以一个面积：6分之a平方,所以边长为根号6分之a,所以体积为6倍根号六分之a立方设长方体长为x,宽为y,高为z
目标函数f(x,y,z)=xyz
限制条件为g(x,y,z)=2(xy+yz+xz)=a²
即φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0
引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)-a²]
则
L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0.(1)
L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0.(2)
L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0.(3)
φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0.(4)
由(1)(2)(3)得
x=y=z=4λ
代入(4)得
λ=a/√96=√6a/24
即驻点为P(x,y,z)=P( √6a/24,√6a/24,√6a/24)
唯一驻点,故最值
最大体积V=xyz=8λ^3=√6a^3/2304
再问：答案是v=√6a^3\36
再问：为什么（a^2／6^2）
再答：假设长方体的长宽高分别是x,y,z,体积是v,则
2*(xy+xz+yz)-a^2=0,....(1)由拉格朗日乘数法,
v=xyz+m(2*(xy+xz+yz)-a^2),分别求v关于x,y,z,的偏导数,并令导数等于0,再与(1)式联立求解,三个导数是
yz+2m(y+z)=0,
xz+2m(x+z)=0,
xy+2m(x+y)=0,由于x,y,z都不等于0,由以上三式可得, x/y=(x+z)/(y+z),y/z=(x+y)/(x+z),由以上两式可得 x=y=z,代入(1)式解得

x=y=z=a/根6,
这是唯一可能的极值点.最大体积是

a^3/(6根6) 化简一下，即得答案

圆台的体积和表面积公式及简单易懂推理过程? 一张长为16.56厘米,宽为8厘米的长方形纸片做成一个体积最大的圆柱,求它的表面积与体积长方体的体积为a,长宽高各为几时,才有最大的表面积? 要简单易懂的详细过程一个长方形纸盒的底面是一个周长40厘米的正方形,高为2分米,求表面积体积将一个长6厘米宽为4厘米的长方形绕一条对称轴旋转一周所形成的体积最大的立体图形表面积和体积 1.求一个长为30cm,宽为20cm,高为35cm的长方形体积和表面积一个长方形的体积为162、他的长宽高比例为3：1：2.求这个长方体的表面积. 已知圆锥底面半径为a,母线与底面成30°的角,求它的体积详细过程做一个体积72立方厘米的长方形带盖箱子.长宽比是2:1,求最大表面积长方体的长宽高为不小于3的自然数,并且体积数值为120,那么这样的长方形的表面积最大数是高中数学（空间几何体的表面积与体积）多少分我都给求详细过程