在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/28 10:40:23

在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上
如图在平面直角坐标系中直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上O为原点点A的坐标为（6,0）,点B的坐标为（0,8）.动点M从点O出发沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动同时动点N从点A出发沿AB向终点B以每秒3分之5个单位的速度运动当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动设动点M、N运动的时间为t秒t >0.1当t=3时直接写出点N的坐标并求出经过O、A、 N三点的抛物线的解析式2在此运动的过程中△MNA的面积是否存在最大值若存在请求出最大值若不存在请说明理由 3当t为何值时△MNA是一个等腰三角形.

（1）由题意,A（6,0）、B（0,8）,则OA=6,OB=8,AB=10；
当t=3时,AN= t=5= AB,∴N（3,4）．
设抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6）,则即N是线段AB的中点
∴N（3,4）．
4=3a（3﹣6）,a=-4/9
∴抛物线的解析式：y=-4/9x（x﹣6）=-4/9x²+ 8/3x
（2）过点N作NC⊥OA于C；
由题意,AN= t,AM=OA﹣OM=6﹣t,NC=NAsin∠BAO=5/3 t ·4/5= 4/3t；
则：S△MNA= 1/2·AM·NC= 1/2×（6﹣t）×4/3 t=﹣2/3（t﹣3﹚²+6．
∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6．
（3）Rt△NCA中,AN= 5/3t,NC=AN·sin∠BAO=4/3 t,AC=AN·cos∠BAO=t；
∴OC=OA﹣AC=6﹣t,∴N（6﹣t,4/3t）．
∴NM=√﹙6－t－t﹚²＋﹙4/3t﹚²=√52/9t²－24t＋36
又：AM=6﹣t,AN= 5/3t（0＜t＜6）；
①当MN=AN时,√52/9t²－24t＋36
=5/3 t,即：t2﹣8t+12=0,t1=2,t2=6（舍去）；
②当MN=MA时,√52/9t²－24t＋36
=6﹣t,即：t²﹣12t=0,t1=0（舍去）,t2=108/43 ；
③当AM=AN时,6﹣t= 5/3t,即t=9/4 ；
综上,当t的值取 2或 9/4或 108/43时,△MAN是等腰三角形