（2014•武昌区模拟）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/23 21:15:05

（2014•武昌区模拟）如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B₁B上，且满足B₁E=2EB．
（1）求证：D₁E⊥A₁C₁；
（2）在棱B₁C₁上确定一点F，使A、E、F、D₁四点共面，并求此时B₁F的长；
（3）求几何体ABED₁D的体积．

（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：连结B₁D₁．因为四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，
所以A₁C₁⊥B₁D₁．
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥A₁C₁．
因为DD₁∩B₁D₁=D₁，DD₁⊂平面BB₁D₁D，B₁D₁⊂平面BB₁D₁D，
所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
又D₁E⊂平面BB₁D₁D，所以D₁E⊥A₁C₁．…（4分）
（Ⅱ）连结BC₁，过E作EF∥BC₁交B₁C₁于点F．
因为AD₁∥BC₁，所以AD₁∥EF．
所以A、E、F、D₁四点共面．即点F为满足条件的点．
又因为B₁E=2EB，所以B₁F=2FC₁，
所以B1F＝
2
3B1C1＝
4
3．…（8分）
（Ⅲ）四边形BED₁D为直角梯形，
几何体ABED₁D为四棱锥A-BED₁D．
因为SBED1D=
(BE+DD1)•BD
2=
4
2
3，
点A到平面BED₁D的距离h=
1
2AC＝
2，
所以几何体ABED₁D的体积为：
VA−BED1D=
1
3SBED1Dh＝
8
9．…（13分）