求证对任意正整数N 2/1^2+3/2^2+……+(n+1)/n^2>ln(n+1)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 12:06:41
求证对任意正整数N 2/1^2+3/2^2+……+(n+1)/n^2>ln(n+1)
先证明不等式:当x>0时ln(x+1)<x
令f(x)=x-ln(x+1),则f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,于是f(x)>f(0)=0,即当x>0时ln(x+1)<x
在不等式中取x为1/n,有当1/n>0时ln(1/n+1)<1/n,即n>0时1/n>ln(n+1)-lnn
所以2/1^2+3/2^2+……+(n+1)/n^2>1/1^2+2/2^2+...+n/n^2=1+1/2+...+1/n>ln2-ln1+ln3-ln2+...+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)-ln1=ln(n+1)
原不等式得证
令f(x)=x-ln(x+1),则f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,于是f(x)>f(0)=0,即当x>0时ln(x+1)<x
在不等式中取x为1/n,有当1/n>0时ln(1/n+1)<1/n,即n>0时1/n>ln(n+1)-lnn
所以2/1^2+3/2^2+……+(n+1)/n^2>1/1^2+2/2^2+...+n/n^2=1+1/2+...+1/n>ln2-ln1+ln3-ln2+...+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)-ln1=ln(n+1)
原不等式得证
证明对任意正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3
对于任意正整数n,求证:ln(1/2+1/n)>1/n^2-2/n-1
证明对任意的正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3都成立
证明:对任意正整数n,不等式ln((n+2)/2)
证明对任意正整数n,不等式ln(1/n + 1)>1/n^2 +1/n^3 注:^2是平方 ^3是三次方
对大于1的任意正整数n,都有1+1/2+1/3+1/4+...+1/n>ln(e^n/n!)
求证:对任意正整数n,(2n+1)²-1一定能被8整除
证明:对任意的正整数n,不等式2+3/4+4/9+…+(n+1)/n^2>In(n+1)都成立!若bn=(n-2)*(1
高中数学证明 对于任意正整数m n 不等式1/ln(m+1) + 1/ln(m+2) +...+1/ln(m+n) >
证明:对任意正整数n(n+1)(n+2)(n+3)+1都是这个完全平方数
不等式数学证明题证明:对于任意的正整数n,不等式ln(1/n+1)>1/n^2-1/n^3都成立
对任意正整数n,数列an均满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)