二阶常系数非齐次线性微分方程通解是对应齐次方程通解与非齐次方程本身一个特解之和,为什么?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 16:13:18

首先因为有(f+g)'=f'+g'
用微分算子表示,一个非齐次线性微分方程就是 P(D)y=f(x)
那么,设y=u+v,当uv分别满足
P(D)u=0
P(D)v=f(x)
时,将uv相加,得到P(D)y=f(x),也就是原方程的解
再问：你那个仅说明这两个解都是原方程的解而已，如何确保这个解是全面的
再答：已知v是原方程的特解，那么就可得方程

P(D)(y-v)=0
设y-v=u，P(D)u=0
只要u的解是全面的，原方程的解就是全面的
再问：如何保证u是全面的，我似乎就是想问这个
再答： u是所有符合对应齐次线性微分方程的解的解集，所以是全面的
因为已知v是特解，必然有P(D)(y-v)=0，也就是y-v包含于u
再问：为什么其对应非齐次也是全面的？
再答：任意满足原方程的解y1，可得P(D)(y1-v)=0，也就是说y1-v包含在u之中
那么我通过所有u+v就得到了任意y1，也就全面

证明：n阶常系数非齐次微分方程的通解正好是其对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解. 二阶常系数齐次线性微分方程通解如果已知二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解,如何求其通解? 求一个二阶常系数线性非齐次微分方程的通解!二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程,求下列微分方程的通解已知一个齐次线性微分方程的特解,求另一个线性无关的特解,并求通解. 二阶常系数非齐次线性微分方程求通解怎么设特解求常系数齐次线性微分方程的通解. 已知一个线性非齐次微分方程的三个特解怎样求它的通解? 若r1=r2=-1是二阶常系数线性齐次微分方程的特征根,则该方程的通解是非齐次线性微分方程为什先求其齐次线性微分方程的通解然后再用常数变易法求其通解? 以y=c1cos2x+c2sin2x+x为通解的二阶常系数线性非齐次微分方程是?