试以六边形为例,证明圆外切等角多边形是正多边形

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 02:10:38

以六边形为例,设等角六边形ABCDEF外切于⊙O
且AB、BC、CD、DE、EF、FA边上的切点分别为A1、B1、C1、D1、E1、F1
由于正多边形的定义是各角相等,各边相等,由于已是等角,只需证明等边

联结OA1、OB1、OC1、OD1、OE1、OF1,顺次联结A1、B1、C1、D1、E1、F1
六边形内角和为180°*(6-2)=720°,由于六边形ABCDEF等角六边形,所以∠A=720°/6=120°
由于A1、F1是AB、AF边上的切点,即OA1⊥AB于A1,OF1⊥AF于F1,所以∠OA1A=∠OF1A=90°
所以在四边形AA1OF1中,∠A1OF1=360°-∠A-∠OA1A-∠OF1A=360°-120°-90°-90°=60°
由于OA1、OF1是半径,OA1=OF1,所以△A1F1O是正三角形
得∠OA1F1=∠OF1A1=60°,且A1F1=OA1为半径
所以∠AA1F1=∠AA1O-∠OA1F1=90°-60°=30°,∠AF1A1=∠OF1A-∠OF1A1=90°-60°=30°
由∠AA1F1=∠AF1A1得AA1=AF1

根据同样的道理,可得∠A1OB1=∠B1OC1=∠C1OD1=∠D1OE1=∠E1OF1=60°
则△A1OB1、△B1OC1、△C1OD1、△D1OE1、△E1OF1是正三角形
所以A1B1=B1C1=C1D1=D1E1=E1F1=F1A1为半径
而且由∠BA1B1=∠BB1A1=30°,∠CB1C1=∠CC1B1=30°,
∠DC1D1=∠DD1C1=30°,∠ED1E1=∠EE1D1=30°,∠FE1F1=∠FF1E1=30°
得BA1=BB1,CB1=CC1,BC1=DD1,ED1=EE1,FE1=FF1
再由∠AA1F1=∠BB1A1=∠CC1B1=∠DD1C1=∠EE1D1=∠FF1E1,且∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F
得△AA1F1∽△BB1A1∽△CC1B1∽△DD1E1∽△EE1D1∽△FF1E1
有AA1/A1F1=BB1/B1A1=CC1/C1B1=DD1/D1C1=EE1/E1D1=FF1/F1E1
由于已证A1B1=B1C1=C1D1=D1E1=E1F1=F1A1
所以有AA1=BB1=CC1=DD1=EE1=FF1
再由已证的AA1=AF1,BA1=BB1,CB1=CC1,BC1=DD1,ED1=EE1,FE1=FF1
得AA1=AF1=BA1=BB1=CB1=CC1=BC1=DD1=ED1=EE1=FE1=FF1
则AA1+BA1=BB1+CB1=CC1+DC1=DD1+ED1=EE1+FE1=FF1+AF1
即AB=BC=CD=DE=EF=FA,也就是等边六边形
加上已知的等角,所以六边形ABCDEF是正六边形

如何证明各角相等的任意圆外切多边形为正多边形如何证明圆外接多边形是否是正多边形正多边形和圆1.在同圆中,圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长之比为____.面积之比为____.2.若一个正多边形的半径为R的同一圆的内接正六边形和外切正六边形的面积比是? 、一个正多边形的外角是60°,此多边形是（） A、五边形 B、六边形 C、七边形 D、八边形如图，以正六边形的顶点为圆心4cm为半径的六个圆中相邻两圆外切，则该正六边形边长是______cm．如何证明一个多边形是正多边形?一定要同时各角相等各边也相等吗? 急如图所示,下列三图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边的中点,双曲线均以图中的F1,F2为F2为焦点如同圆o半径为R 分别求出它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长一个圆的内接正六边形与外切正六边形的面积之比为______．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比为（） 1、同圆的内接正六边形与外切正六边形的周长之比为?