(2014•东营)【探究发现】如图1,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/24 20:00:53
(2014•东营)【探究发现】如图1,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立;
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E是线段BC延长线上的任意一点”;“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明AE=EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC:S△AEF的值.
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E是线段BC延长线上的任意一点”;“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明AE=EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC:S△AEF的值.
证明:如图一,在B上截取AG,使AG=EC,连接EG,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∵AG=EC,
∴BG=BE,
∴△BEG是等边三角形,∠BGE=60°,
∴∠AGE=120°.
∵FC是外角的平分线,
∠ECF=120°=∠AGE.
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC,
∴∠GAE=∠FEC.
在△AGE和△ECF中
∠GAE=∠CEF
AG=EC
∠AGE=∠ECF,
∴△AGE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
拓展应用:
如图二:作CH⊥AE于H点,
∴∠AHC=90°.
由数学思考得AE=EF,
又∵∠AEF=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴△ABC∽△AEF.
∵CE=BC=AC,△ABC是等边三角形,
∴∠CAH=30°,AH=EH.
∴CH=
1
2AC,AH=
3
2AC,AE=
3AC,
∴
AC
AE=
3
3.
∴
S△ABC
S△AEF=(
AC
AE)2=(
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∵AG=EC,
∴BG=BE,
∴△BEG是等边三角形,∠BGE=60°,
∴∠AGE=120°.
∵FC是外角的平分线,
∠ECF=120°=∠AGE.
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC,
∴∠GAE=∠FEC.
在△AGE和△ECF中
∠GAE=∠CEF
AG=EC
∠AGE=∠ECF,
∴△AGE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
拓展应用:
如图二:作CH⊥AE于H点,
∴∠AHC=90°.
由数学思考得AE=EF,
又∵∠AEF=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴△ABC∽△AEF.
∵CE=BC=AC,△ABC是等边三角形,
∴∠CAH=30°,AH=EH.
∴CH=
1
2AC,AH=
3
2AC,AE=
3AC,
∴
AC
AE=
3
3.
∴
S△ABC
S△AEF=(
AC
AE)2=(
已知:如图,EF是△ABC的中位线,外角∠ACG的平分线交直线EF于点D.
如图1,已知四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,
如图1,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DOG的平分线CF于点F,试说明A
如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F,求证AE=EF
如图,已知△ABC是等边三角形,d为bc上一点,以ad为边做∠ade=60°,de与△abc的外角平分线ce交于点e,连
如图所示点d是等边三角形abc的边bc上一点,连接ad作∠ade=60°,交△abc的外角平分线ce于e
如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF=90°,EF交正方形外角平分线CF于点F,取边AB的中点G,
如图①点D是等边三角形ABC的边BC上的一点,连接AD作∠ADE=60°,交△的外角的平分线CE于E
四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点(如图1),角AEF=90,EF与正方形外角的平分线CF交于F.求证:AE=E
(2011•呼和浩特)如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF=90°,EF交正方形外角平分线CF
如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC边上一点,以AD为边作∠ADE=60°,DE与△ABC的外角平分线CE交于E点,
已知:如图,EF是△ABC的中位线,外角∠ACG的平分线交直线EF于点D.求证:AD⊥CD.