作业帮求证Lindelof引理
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 04:13:39
求证Lindelof引理
即E是R^n中的点集,则E的任何开覆盖都有可数字覆盖
求教详细证明(从拓扑结构角度).
基本上看懂了，就是第三段在中的P和P（r）是相同的还是不同的，r代表什么？
即E是R^n中的点集,则E的任何开覆盖都有可数字覆盖
求教详细证明(从拓扑结构角度).
基本上看懂了，就是第三段在中的P和P（r）是相同的还是不同的，r代表什么？
这很容易啊!你要知道这样一件事：有理数可列（可数）,R^n中的有理点（各个坐标分量都是有理数）是可列（可数）的,而且稠密,因此R^n中的所有以有理点为球心,正有理数为半径的开球是可数多个.
这些可数多个开球就是R^n中的一个基,具有可数基的空间一定是Lindelof空间.
如果你对基的概念不熟悉,第二段你就当没有,接着第一段来.对于E中的每一个点P,既然能够被某一个开集U(p)覆盖,就有一个有理点P（r）和某一个有理数x,使得以P(r)为中心,x为半径的开球能包含点P,这些球之多具有可列多个,每一个这样的球,找到一个包含这个球的U（P）,显然这些U(P)至多可列个,构成了E的子覆盖.
这些可数多个开球就是R^n中的一个基,具有可数基的空间一定是Lindelof空间.
如果你对基的概念不熟悉,第二段你就当没有,接着第一段来.对于E中的每一个点P,既然能够被某一个开集U(p)覆盖,就有一个有理点P（r）和某一个有理数x,使得以P(r)为中心,x为半径的开球能包含点P,这些球之多具有可列多个,每一个这样的球,找到一个包含这个球的U（P）,显然这些U(P)至多可列个,构成了E的子覆盖.