作业帮证明：两个矩阵秩的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 08:47:21
证明：两个矩阵秩的问题
1）rank(A*B)>=rank(A)+rank(B)-n; A为s行n列,B为n行t列
2）如果A,B均为s行n列矩阵,那么必存在可逆阵;P和Q使得：B=P*A*Q
的前提条件是：r(A)=r(B).
1）rank(A*B)>=rank(A)+rank(B)-n; A为s行n列,B为n行t列
2）如果A,B均为s行n列矩阵,那么必存在可逆阵;P和Q使得：B=P*A*Q
的前提条件是：r(A)=r(B).
(1) 这是Sylvester不等式
证明参见图片
(2) 这个结论不成立
结论成立的充分必要条件是r(A)=r(B).
再问： sorry ,少写了一个条件：r(A)=r(B)
再答： 嗯 应该这样. 证明用矩阵的等价是一个等价关系就可以了 (不知道你教材中有没有这个性质) 当 r(A)=r(B)=r 时 A与B都与分块矩阵 [Er,0 ; 0, 0] 等价, 由等价关系的传递性 A与B等价, 即 存在可逆阵;P和Q使得：B=P*A*Q
再问： 非常感谢：可以这样理解吗，用P左乘A，是对A进行初等行变换，Q右乘A是对A进行初等列变化，A与B都与分块矩阵 [Er,0 ; 0, 0] 等价就是说，必然存在行列变换使得： Pa*A*Qa=[Er,0 ; 0, 0]；以及Pb*B*Qb=[Er,0 ; 0, 0]；(因为行列变换是可逆的，故Qa，Qb，Pa，Pb均为可逆方阵) 故：Pa*A*Qa=Pb*B*Qb 因此有：B=(Pb^-1)*Pa*A*Qa*(Qb^-1) 故有：A=P*B*Q
再答： 呵呵 就是这样, 正解!
证明参见图片
(2) 这个结论不成立
结论成立的充分必要条件是r(A)=r(B).
再问： sorry ,少写了一个条件：r(A)=r(B)
再答： 嗯 应该这样. 证明用矩阵的等价是一个等价关系就可以了 (不知道你教材中有没有这个性质) 当 r(A)=r(B)=r 时 A与B都与分块矩阵 [Er,0 ; 0, 0] 等价, 由等价关系的传递性 A与B等价, 即 存在可逆阵;P和Q使得：B=P*A*Q
再问： 非常感谢：可以这样理解吗，用P左乘A，是对A进行初等行变换，Q右乘A是对A进行初等列变化，A与B都与分块矩阵 [Er,0 ; 0, 0] 等价就是说，必然存在行列变换使得： Pa*A*Qa=[Er,0 ; 0, 0]；以及Pb*B*Qb=[Er,0 ; 0, 0]；(因为行列变换是可逆的，故Qa，Qb，Pa，Pb均为可逆方阵) 故：Pa*A*Qa=Pb*B*Qb 因此有：B=(Pb^-1)*Pa*A*Qa*(Qb^-1) 故有：A=P*B*Q
再答： 呵呵 就是这样, 正解!