（2010•天津模拟）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/27 19:40:15

（2010•天津模拟）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点
F是PB的中点，点E在边BC上移动，
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°？

解法一：
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点…（1分）
∴EF∥PC
又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC…（2分）
∴EF∥平面PAC…（3分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD
∴BE⊥PA
∵ABCD是矩形
∴BE⊥AB…（4分）
又AB∩AP=A，AP、AB⊂平面ABCD
∴BE⊥平面ABCD
又AF⊂平面PAB
∴AF⊥BE …（5分）

又PA=AB=1，且点F是PB的中点
∴PB⊥AF
又∵PB∩BE=B，PB、BE⊂平面PBE
∴AF⊥平面PBE …（6分）
∵PE⊂平面PBE
∴AF⊥PE
故无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF …（7分）
（Ⅲ）当BE＝
3−
2时，二面角P-DE-A的大小为45°…（8分）
过A作AG⊥DE于G，连接PG
又∵DE⊥PA
∴DE⊥平面PAG∴DE⊥PG
则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角∴∠PGA=45° …（10分）
∵PA⊥平面ABCD
∴∠PDA就是PD与平面ABCD所成的角，即∠PDA=30°…（11分）
又PA=AB=1，∴AD＝
3∴AG=1，DG＝
2…（12分）
设BE=x，则GE=x，CE=
3−x
在Rt△DCE中，(
2+x)2＝(
3−x)2+1
解得：x＝

如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　）已知点P是矩形ABCD外一点,PA⊥面ABCD,且PB,PD与平面ABCD所成角分别为45°,30°,PA=α,求点P到如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD中点. 如图，P是平面ABCD外一点，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，（1 如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,若PA=AD=AB,求PC与平面ABCD 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M. 如图,P是矩形ABCD所在平面外一点,PA垂直于BC,PD与BC成30度角,PA=12,求AD的长如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是___．如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F是PD的中点,E是如图,P是矩形ABCD所在平面外一点,PA垂直于ABCD,EF分别为AB和PD的中点,PA=AD 已知：如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=2,E是PD的中点如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝3，点F是PD的中点，点E在CD