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已知函数f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/20 14:58:22
已知函数f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）在[
1
2
，2]
（1）a=3时，f′(x)＝−2x+3−
1
x＝−
2x2−3x+1
x＝−
(2x−1)(x−1)
x，
函数f（x）在区间(
1
2，2)仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[
1
2，2]最大值是f（1）=2，
又f(2)−f(
1
2)＝(2−ln2)−(
5
4+ln2)＝
3
4−2ln2＜0，故f(2)＜f(
1
2)，
故函数在[
1
2，2]上的最小值为f（2）=2-ln2．
（2）f′(x)＝−2x+a−
1
x，令g(x)＝2x+
1
x，则g′(x)＝2−
1
x2，
则函数在(
1
2，

2
2)递减，在(

2
2，2)递增，由g(
1
2)＝3，g(2)＝
9
2，g(

2
2)＝2
2，
故函数g（x）在(
1
2，2)的值域为[2
2，
9
2)．
若f'（x）≤0在(
1
2，2)恒成立，即a≤2x+
1
x在(
1
2，2)恒成立，只要a≤2
2，
若要f'（x）≥0在(
1
2，2)恒成立，即a≥2x+
1
x在(
1
2，2)恒成立，
只要a≥
9
2．即a的取值范围是（-∞，2
2]∪[
9
2，+∞）．
（3）若f（x）既有极大值又有极小值，则首先必须f'（x）=0有两个不同正根x1，x2，即2x2-ax+1=0有两个不同正根．
故a应满足

△＞0

a
2＞0⇒

a2−8＞0
a＞0⇒a＞2
2，
∴当a＞2
2时，f'（x）=0有两个不等的正根，不妨设x1＜x2，
由f'（x）=−
1
x(2x2−ax+1)=−
2
x（x-x1）（x-x2）知：
0＜x＜x1时f'（x）＜0；x1＜x＜x2时f'（x）＞0；x＞x2时f'（x）＜0，
∴当a＞2
2时f（x）既有极大值f（x2）又有极小值f（x1）．
反之，当a＞2
2时，2x2-ax+1=0有两个不相等的正根，
故函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件a＞2
2．
已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R． 已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R． （2014•市中区二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R． （2014•烟台二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R． （2012•资阳一模）已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R． 已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）． 已知函数f（x）=lnx+x2+ax． 已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）． 已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）． 已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）． 已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R． 已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R