一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2／2,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 05:20:06

一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2／2,
已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程

你好：
由于椭圆是关于坐标轴对称的,所以它的中心在原点.
若椭圆的焦点在X轴上,可设方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB在椭圆上：
x1^2/a^2/y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,因式分解得到：
[(x1-x2)(x1+x2)]/a^2+[(y1-y2)(y1+y2)]/b^2=0
整理得到：[b^2(x1+x2)]/[a^2(y1+y2)]= -(y1-y2)/(x1-x2)
注意到：因为M为AB中点,XM=（x1+x2）/2 YM=(y1+y2)/2
因为AB在直线x+y-1=0上：那么,(y1-y2)/(x1-x2)=k=-1
所以整理得到的式子等价于：(b^2*XM)/(a^2*YM)= -(-1)=1
因为M与椭圆中心的连线的斜率是√2／2,所以YM/XM=√2/2
得到：a^2=√2*b^2
椭圆的方程可化为：x^2+ √2y^2=√2b^2
将直线的解析式代入方程中：
x^2+√2(1-x)^2=√2b^2
整理得到：(1+√2)x^2-2√2x+√2-√2b^2=0
根据韦达定理得到：x1+x2=2√2/(1+√2)=4-2√2
x1x2=(√2-√2b^2)/(1+√2)=(2-√2)(1-b^2)
由两点间的距离公式得到：|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
注意到：y1-y2=(1-x1)-(1-x2)=x2-x1
因此：|AB|=√[2(x1-x2)^2]=√[2(x1+x2)^2-8x1x2]=2√2
两边平方得到：2(x1+x2)^2-8x1x2=8
代入关系式：2(4-2√2)^2-8(2-√2)(1-b^2)=8
解得：b^2=(3/2)√2
因此：x^2/3+2*y^2/(3√2)=1
若椭圆的焦点在Y轴上：设y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b)
同理得到：(a^2XM)/(b^2YM)=1
解得：a^2=(√2/2)b^2

椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于A、B两点,若AB=2√2,AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为√2/2,求椭圆已知椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A,B两点,M是AB的中点,且AB中点M与原点连线的斜率为√2/2,且OA 椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1相交于AB两点,若|AB|=2√2且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为√2/2 一椭圆中心为原点且以坐标轴为对称轴 O为原点并且与直线X+Y=1交于A,B两点 C是线段AB的中点 AB的长为2√2 已知椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1交于AB两点且绝对值AB中点M与椭圆中心O是连线为斜率=根号2/2,求椭圆已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,且AB=2√2,连结AB的中点与原点的直线斜率为√ 已知椭圆mx^2+ny^2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,M是线段AB的中点,且/AB/=二倍根号二,OM的斜率为中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=3交于两点,AB=2根号2,OC斜率为2,c为AB中点,求椭圆方程. 已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A,B两点,M为AB中点,OM斜率为0.25,椭圆的短轴长为2 若椭圆mx^2+ny^2=1与直线x+y-1=0交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为√2/2,求n/m的值椭圆的性质题!椭圆E:ax2+by2=1与直线x+y=1交于A,B两点,M是AB中点,如果|AB|=2,且OM的斜率为. 若椭圆mx^2+my^2与直线x+y-1=0相较于A B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率k为二分之根号二,则n/m