作业帮线性代数,正定矩阵.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 11:39:18
线性代数,正定矩阵.
记已知矩阵为G,矩阵A=(α1,α2,...,αm),则G=A'A,是对称矩阵.这里'代表转置.
必要性.设矩阵G是正定矩阵,则对于任意的m维非零向量x,恒有x'Gx=x'(A'A)x=(Ax)'(Ax)＞0,所以Ax≠0,所以方程组Ax=0只有零解,所以向量组α1,α2,...,αm线性无关.
充分性.设向量组α1,α2,...,αm线性无关,则Ax=0只有零解,所以对于任意的m维非零列向量x,Ax≠0,所以(Ax)'(Ax)=x'(A'A)x=X'Gx＞0,所以G是正定矩阵.
再问： лл��
必要性.设矩阵G是正定矩阵,则对于任意的m维非零向量x,恒有x'Gx=x'(A'A)x=(Ax)'(Ax)＞0,所以Ax≠0,所以方程组Ax=0只有零解,所以向量组α1,α2,...,αm线性无关.
充分性.设向量组α1,α2,...,αm线性无关,则Ax=0只有零解,所以对于任意的m维非零列向量x,Ax≠0,所以(Ax)'(Ax)=x'(A'A)x=X'Gx＞0,所以G是正定矩阵.
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