作业帮高中关于导数、极限的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 10:17:53
高中关于导数、极限的问题
f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x、y∈R成立.f（1）=2.题目记不得,带入几个值就算出来了,但能这样说吗：
由题可得定义域为R
设Δx→0,f（x+Δx）-f（x）=f（Δx）
这里可以说 f（Δx）→0吗,因为如果 f（Δx）→C,C≠0,那么f（x+Δx）-f（x）=C似乎是不对的呢
如果 f（Δx）→0成立,那么f（x）在R上连续、单调了
又由题干易得f（0）=0
可以这样接下来算么[f（x+Δx）-f（x）]/Δx=[f（Δx）-f（0）]/Δx
那么每一点导数都相同了,f（x）=kx+c
又因为f（0）=0 f（1）=2
f（x）=2x
我们没有细学关于极限、可导、连续的概念,我只是从一些书上看了些,求指教能让高中生听懂
f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x、y∈R成立.f（1）=2.题目记不得,带入几个值就算出来了,但能这样说吗：
由题可得定义域为R
设Δx→0,f（x+Δx）-f（x）=f（Δx）
这里可以说 f（Δx）→0吗,因为如果 f（Δx）→C,C≠0,那么f（x+Δx）-f（x）=C似乎是不对的呢
如果 f（Δx）→0成立,那么f（x）在R上连续、单调了
又由题干易得f（0）=0
可以这样接下来算么[f（x+Δx）-f（x）]/Δx=[f（Δx）-f（0）]/Δx
那么每一点导数都相同了,f（x）=kx+c
又因为f（0）=0 f（1）=2
f（x）=2x
我们没有细学关于极限、可导、连续的概念,我只是从一些书上看了些,求指教能让高中生听懂
f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0
就得到了f(0)=0了.
往下lim[f（x+Δx）-f（x）]/Δx=lim[f（Δx）-f（0）]/Δx=f'(0)
这就没什么问题了,f(x)是一条直线
f(x)=f'(0)x+b
带入f（0）=0 f（1）=2
解得f(x)=2x
再问： 问题主要是如何证明f（x）连续、可导，虽然是高中数学，也并没说是初等函数
有两步
“这里可以说 f（Δx）→0吗，因为如果 f（Δx）→C,C≠0，那么f（x+Δx）-f（x）=C似乎是不对的呢”
“如果 f（Δx）→0成立，那么f（x）在R上连续、单调了”
这两步我是凭感觉的，理论来讲如何？
再答： 上面不是跟你说了吗，令x=y=0, 就得到了f(0)=0
所以f（Δx）→0
你没看到？？
不懂请追问
再问： 谁说f（0）=0就可以说f（Δx）=0，还没证明f（x）连续呢
假设当x＞0 f（x）=x+1
当x≤0 f（x）=x
那么f（0）=0
f（Δx）=1
我觉得我之前把这个问题说清楚了的
再答： 你看这样行不行，
原来的等式两边同时取x->0,y->0的极限
这样能不能得出lim(t->0) f(t)=0
我试着用定义证明连续，没有成功
你举的那个例子，
当x＞0 f（x）=x+1
当x≤0 f（x）=x
他根本不能满足任意两点处f(x+y)=f(x)+f(y)
你取x=1,y=0就不成立。
再问： 我举的那个例子只是说f（Δx）→0不一定
我已经问了别人了
还是谢谢了，会采纳的
再答： 别人怎么证明连续的，可以私信我一下吗？？
令x=y=0
就得到了f(0)=0了.
往下lim[f（x+Δx）-f（x）]/Δx=lim[f（Δx）-f（0）]/Δx=f'(0)
这就没什么问题了,f(x)是一条直线
f(x)=f'(0)x+b
带入f（0）=0 f（1）=2
解得f(x)=2x
再问： 问题主要是如何证明f（x）连续、可导，虽然是高中数学，也并没说是初等函数
有两步
“这里可以说 f（Δx）→0吗，因为如果 f（Δx）→C,C≠0，那么f（x+Δx）-f（x）=C似乎是不对的呢”
“如果 f（Δx）→0成立，那么f（x）在R上连续、单调了”
这两步我是凭感觉的，理论来讲如何？
再答： 上面不是跟你说了吗，令x=y=0, 就得到了f(0)=0
所以f（Δx）→0
你没看到？？
不懂请追问
再问： 谁说f（0）=0就可以说f（Δx）=0，还没证明f（x）连续呢
假设当x＞0 f（x）=x+1
当x≤0 f（x）=x
那么f（0）=0
f（Δx）=1
我觉得我之前把这个问题说清楚了的
再答： 你看这样行不行，
原来的等式两边同时取x->0,y->0的极限
这样能不能得出lim(t->0) f(t)=0
我试着用定义证明连续，没有成功
你举的那个例子，
当x＞0 f（x）=x+1
当x≤0 f（x）=x
他根本不能满足任意两点处f(x+y)=f(x)+f(y)
你取x=1,y=0就不成立。
再问： 我举的那个例子只是说f（Δx）→0不一定
我已经问了别人了
还是谢谢了，会采纳的
再答： 别人怎么证明连续的，可以私信我一下吗？？