证明与V上所有线性变幻可交换的V上线性变换是且仅是数乘变换,即kE型变换.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 17:24:10

证因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.
结论“与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE”的证明如下：
证: 设 A=(aij) 与任意的n阶矩阵可交换, 则A必是n阶方阵.
设Eij是第i行第j列位置为1,其余都是0的n阶方阵.
则EijA = AEij
EijA 是第i行为 aj1,aj2,...,ajn, 其余行都是0的方阵
AEij 是第j列为 a1i,a2i,...,ani, 其余列都是0的方阵
所以当i≠j时, aij=0.
所以A是一个对角矩阵.
设E(i,j)是对换i,j两行的初等矩阵.
由E(i,j)A=AE(i,j)可得
aii=ajj
所以A是主对角线元素相同的对角矩阵, 即数量矩阵.
再问：我百度一下也是这个…有没有过程…

数域P上n维线性空间V的一个线性变换A称为幂零的,如果存在一个正整数m使A^m=0,证明A是幂零变换当且仅当它的特征多项 T是数域K上的n维线性空间V的一个线性变换,证明：T在任意一组基下的矩阵都相同的充要条件是T是数乘变换 T是数域K上的n维线性空间V的一个线性变换,证明：T在任意一组基下的矩阵都相同的充分必要条件是T是数乘变换 v是数域p上的n维线性空间,T是v的线性变换.证明,存在v的线性变换S,使得TST=T 设α是n维线性空间 V的线性变换,那么 α是双射 α是单位变换（×）设σ是线性空间V上的可逆线性变换,证明：（1）σ的特征值一定不为零. 设A为数域P上的线性空间V的线性变换,证明：设V为数域P上的线性空间,A是V上的变换,任意α,β∈v,任意k∈P, 证明是线性空间设V是数域F上的线性空间,W是V的一个子空间,U={σ是V的一个线性变换|σ（V）是W的子集}.证明：U关设V是数域P上的n维线性空间,W是V的子空间,证明：W是某个线性变换的核. 在线性空间p[x]n中,定义变换σ:f(x)→f'(x),证明:σ是线性变换,求σ的值域σV和核σ-1（0）；设σ是欧式空间V的一个线性变换,证明：σ是正交变换的充要条件是对V的任意向量=.