作业帮已知椭圆x^2/9+y^2/4=1,过A(0,2)作PA⊥QA,P,Q均在椭圆上,试问直线PQ是否恒过一定点 并求出定点
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 09:15:04
已知椭圆x^2/9+y^2/4=1,过A(0,2)作PA⊥QA,P,Q均在椭圆上,试问直线PQ是否恒过一定点 并求出定点
设直线PA的方程为y=kx+2,带入椭圆方程得：(4+9k^2)x^2+36kx=0.
由于已知一个点为A(0,2),可得P点为(-36k/(4+9k^2),(8-18k^2)/(4+9k^2))
由于QA⊥PA,所以可设直线QA的方程为y=(-1/k)x+2,
带入椭圆方程得：(1/9 + 1/(4k^2))x^2=x/k.
由于已知一个点为A(0,2),可得Q点为(36k/(4k^2+9) ,(8k^2-18)/(4k^2+9))
这里可以求出直线PQ就可以拿出不动点为(0,-10/13)了
不过计算有点麻烦.其实这个题我们可以看出如果直线有不动点,那它一定在y轴上.
假设不动点H不在y轴上的话,可得与H关于y轴对称的H‘也是直线的不动点,显然矛盾.
所以不动点在y轴上,由OH=λOP+(1-λ)OQ公式,
让-36k/(4+9k^2)×λ+(1-λ)×36k/(4k^2+9)=0,得λ=(4+9k^2)/(13+13k^2)
则(8-18k^2)/(4+9k^2)×λ+(8k^2-18)/(4k^2+9)×(1-λ)=-10/13.
也可以算出不动点的坐标
由于已知一个点为A(0,2),可得P点为(-36k/(4+9k^2),(8-18k^2)/(4+9k^2))
由于QA⊥PA,所以可设直线QA的方程为y=(-1/k)x+2,
带入椭圆方程得：(1/9 + 1/(4k^2))x^2=x/k.
由于已知一个点为A(0,2),可得Q点为(36k/(4k^2+9) ,(8k^2-18)/(4k^2+9))
这里可以求出直线PQ就可以拿出不动点为(0,-10/13)了
不过计算有点麻烦.其实这个题我们可以看出如果直线有不动点,那它一定在y轴上.
假设不动点H不在y轴上的话,可得与H关于y轴对称的H‘也是直线的不动点,显然矛盾.
所以不动点在y轴上,由OH=λOP+(1-λ)OQ公式,
让-36k/(4+9k^2)×λ+(1-λ)×36k/(4k^2+9)=0,得λ=(4+9k^2)/(13+13k^2)
则(8-18k^2)/(4+9k^2)×λ+(8k^2-18)/(4k^2+9)×(1-λ)=-10/13.
也可以算出不动点的坐标
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