如图,已知PA垂直面ABC,AB垂直BC,若PA=AC=2,AB=1,求二面角A-PC-B的正弦值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 05:00:49

如图,已知PA垂直面ABC,AB垂直BC,若PA=AC=2,AB=1,求二面角A-PC-B的正弦值
下午最好出来,

∵△PAC是等腰RT△,
∴PA=AC=2,PC=2√2,
∵PA⊥平面ABC,AB∈平面ABC,
∴PA⊥AB,
∴△PAB是RT△,PB=√5 ,
∵△ABC是RT△,
BC=√3,
∵PA⊥平面ABC,PA∈平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC,
从B作BH⊥AC,垂足H,连结PH,则BH⊥平面PAC,
△PHC是△PBC在平面PAC上的投影,
设二面角A-PC-B平面角为θ
S△PHC=S△PBC*cosθ,
在RT△ABC中,
AB^2=AH*AC,(RT△直角边是其在斜边的射影和斜边的比例中项）,
AH=1/2,CH=3/2,
S△PHC=CH*PA/2=3/2,
BC⊥AB,根据三垂线定理,
BC⊥PB,
△PBC是RT△,
S△PBC=PB*BC/2=√5*√3/2=√15/2,
cosθ=S△PHC/S△PBC=（3/2）/（√15/2）=√15/5,
∴sinθ=√[1-{cosθ)^2]=√10/5.
二面角A-PC-B的正弦值√10/5.
再问：谢谢，不过没太看懂，能简单点吗？
再答：你自己画一张图，一个三角形在一平面上投影的面积等于它本身面积乘以其二面角余弦值。我是介绍得太详细了，没有发一张图给你。

如图PA垂直平面ABC,AE垂直PB,AB垂直BC,AF垂直PC,PA=AB=BC=2,求二面角P--BC--A的大小. 如图PA垂直平面ABC,AE垂直PB,AB垂直BC,AF垂直PC,PA=AB=BC=2,求二面角P--BC--A的大小已知三角形ABC是正三角形,PA垂直平面ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的正切值的大小三角形ABC是正三角形,PA垂直于平面ABC,且PA=AB=a,则二面角A-PC-B的正切值为求大神帮助若PA垂直于平面ABC,AC垂直于BC,PA=AC=1,BC=根2,求二面角A-PB-C的余弦值. 如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=3，PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正弦值．已知PA垂直平面ABC,且PA等于3,PC=PB=BC=6,求:1.二面角P-BC-A的正弦值;2.三棱锥P-ABC的体在三棱锥P-ABC中,侧面PAC垂直面ABC,PA=PB=PC=3 求AB垂直BC 已知三角形ABC是正三角形,PA垂直平面ABC,切PA＝AB＝a,求二面角A－PC－B的正切值的大小! 数学空间图形的问题已知矩形ABCD,PA垂直平面ABCD,设PA=AB=a,BC=2a,求二面角B-PC-D大小?证明过已知PA垂直平面ABC,AC垂直BC,PA=AC=1,BC=根号2,求二面角A-PB-C大小 PA垂直平面ABC,AC垂直BC,PA=AC=1,BC=根号2,求二面角A-PB-C的大小.用向量解,