求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 12:43:17

p是奇素数这个条件有点多余,其实对奇数都成立.
证明用到平方剩余的一个结果:
引理:对奇素数q,若2是mod q的平方剩余 (即存在整数a使a² = 2(mod q)),则q = ±1(mod 8).
由条件2^p = 1(mod q),即有2^(p+1) = 2(mod q).
而p是奇数,可取a = 2^((p+1)/2),则a² = 2(mod q),2是mod q的平方剩余.
于是q = ±1(mod 8).
如果需要补充引理的证明,
再问：为什么由2是mod q的平方剩余就可以推出q=+/-(mod 8)?
再答：若a² = 2 (mod q), 由Fermat小定理有2^((q-1)/2) = a^(q-1) = 1 (mod q). q是奇素数, 若q ≠ ±1(mod 8), 则q = ±3(mod 8). 只要证明对奇素数q = ±3(mod 8), 有2^((q-1)/2) = -1 (mod q), 即得矛盾. 对q = 8k+3, 在mod q意义下, 有如下2k+1个等式: 1·(8k+1) = -(8k+2)(8k+1) 3·(8k-1) = -(8k)(8k-1) ... (4k-1)(4k+3) = -(4k+4)(4k+3) 4k+1 = -(4k+2) 相乘得1·3·...·(8k+1) = -(4k+2)(4k+3)...(8k+2) (mod q). 而2·4·...·(8k+2) = 2^(4k+1)·1·2·...·(4k+1) (mod q). 于是(8k+2)! = -2^(4k+1)(8k+2)! (mod q). 由q是素数, (8k+2)! = (q-1)!与q互素, 两边消去得1 = -2^(4k+1) (mod q). 即2^((q-1)/2) = -1 (mod q). 对q = 8k+5, 在mod q意义下, 有如下2k+1个等式: 1·(8k+3) = -(8k+4)(8k+3) 3·(8k+1) = -(8k+2)(8k+1) ... (4k+1)(4k+3) = -(4k+4)(4k+3) 相乘得1·3·...·(8k+3) = -(4k+3)(4k+4)...(8k+4) (mod q). 而2·4·...·(8k+4) = 2^(4k+2)·1·2·...·(4k+2) (mod q). 于是(8k+4)! = -2^(4k+2)(8k+4)! (mod q). 由q是素数, (8k+4)! = (q-1)!与q互素, 两边消去得1 = -2^(4k+2) (mod q). 也即2^((q-1)/2) = -1 (mod q).

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