证明：有界连续函数的集合是闭集

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 11:00:26

证明：有界连续函数的集合是闭集

这题出的有问题.B:={f,f is bounded and continues}不是闭集,还有,所谓的闭集,开集必须首先明确在哪个空间中的闭集,开集.例如:B:={f:[0,1]->R,f bounded and continues} 就不是C:={f:[0,1]->R,f bounded}中的闭集.
还有一个问题问楼上:不是闭集,未必就是开集,例如 (0,1] 不是闭集,不是开集.
再问：你说的对，开集还是闭集都应该指明所在空间。可能是我的题说的不很清楚。希望这样说能清楚一点吧： (X,d) is a metric space. Let B(X) be the set of all bounded functions on X. Show that F = { f in B(X): f is continuous } is a closed subset of B(X). 的确闭集的否命题不是开集。可以试图证明B的补集是开集。
再答：照这样说，B(X)应该被视为泛函空间，那么B(X)的泛是什么？ F并非在任何泛的情况下都是B(X)中的闭集。所以在这道题中B(X)肯定拥有一个特殊的泛。知道了泛之后应该就好办了。也不必证明补集是开的。你只要证明：对于任意一个F中的收敛序列f_n的极限函数也是连续的。
再问：为什么说明F中的收敛序列f_n的极限函数f是连续的就能说明B(X)是闭集呢？
再答：这是一个关于闭集的定理。请看图。如果B(X)用的是无穷泛数，那么就可以用uniform convergence的性质。当||f_n-f||-->0, 就意味着f_n一致收敛于f。因为f_n属于F都是连续的，由于一致收敛的性质，他们的极限函数f也是连续的，所以f属于F, 由此推出F是闭集。
再问： OK. 很清楚。可此题中如何证明f_n converges to f uniformly?
再答：因为我假设了B(X)用的是无穷泛数。有一个定理说... 请看图。
再问：呃我们貌似还没有学什么无穷泛数……
再答：刚刚看了你另外一道题的追问。无穷泛数就是||f||=sup|f(t)|=rho(f,0). Analysis I中有条基本定理：sup|fn(t)-f(t)|-->0 fn一致收敛于f。
再问：就是说要证明F是闭集只需证一个F里sequence一致收敛于f并且f在这个F中即可，是么？那为什么你之前说还要要求f是连续的呢？谢谢
再答：因为F中都是连续函数，所以只有f在连续的情况下才能属于F.

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