请问一元定积分用第二类换元法的时候换的那个函数必须是单调的吗?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 13:10:29

请问一元定积分用第二类换元法的时候换的那个函数必须是单调的吗?
比如我举一个题：见图片（点击图片放大）
这个题如果我设t=√(1+sinx)
在换元的时候在x=0和x=2π 时 t 都是1 ,那么新的积分限为[1,1],很显然不对；
t 的值域是[0,√2],如果新的积分限为[0,√2],我算了一下好像也不对；
sinx在[0,π/2],[π/2,3π/2],[3π/2,2π],上分别是单调的,那么在这三段上 t 也应该是单调的吧,所以我就把积分分了三段相加,这三段的积分限分别是[1,√2],[√2,0],[0,1],但是从积分限上就能看出来结果为0,还是不对
所以我就想请问这个积分限到底如何确定呢?
那也就是说换元的时候那个函数必须是单调的或者调整为单调的是吗?

你根据单调性确定积分限是对的,但是忽略了一个问题,就是dx的符号；
按照你的思路,t=√(1+sinx),在代换dx的时候,不同区间的x表达式是不一样的；
简单的例子比如t=sinx；则x=arcsint或者x=π-arcsint；这样从dx变为dt就会相差一个“-”号,而不是简单的积分限变为0.
还有,这个题目可以考虑给根号里面的分数同乘以1+sinx；则分母变为cos^2x；分子变为1+sinx；根据不同德区间可以拿掉cosx的根号,又d(sinx)=cosx;因此可以将sinx直接换元,这样比较简单吧
换元的时候必须分单调区间讨论

定积分中的被积函数一定是单调的吗? 物理学中的第二类运动问题的积分是定积分还是不定积分?解题的时候,书上的格式是定积分,如果是该怎样理关于定积分第二类换元法的问题, 求它的定积分.并且定积分有负值吗?定积分和用定积分求面积一样吗?定积分能直接表示面积吗?求定积分的时候出现了正数和负数相这个定积分题不懂~如图.那个第二步以后就不懂了.那个换元以后的具体步骤是什么啊?. 有这样一道EXCEL的试题,需要插入一个函数,按照积分20换一元计算奖励.请问应该用哪个函数. 请问定积分存在的条件是被积函数连续有界吗? 定积分变上限的问题请问定积分的变上限函数可以用牛顿莱布尼兹算出等价表达式吗两个函数定积分的积与两个函数积的定积分相同吗?为什么? 定积分的那个符号怎么读? 定积分的第二类换元法这个要求是单调可导的哎可是在求积分的过程中令x=t^6 问题就出现了哎这两个一元定积分比较大小,被积函数一致,能根据积分区域的大小关系判断定积分的大小吗?（在不知道被积函数的条件下）