已知f(x)={ ①(x^2-2ax)e^x,x>0②bx,x≤0,g(x)=clnx+b,且x=√2是函数y=f(x)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 08:06:51

已知f(x)={ ①(x^2-2ax)e^x,x>0②bx,x≤0,g(x)=clnx+b,且x=√2是函数y=f(x)的极值点. (1)求实数a的值.（2）若方程f(x)-m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.（3）若直线l是函数y=f(x)的图像在点（2,f（2））处的切线,且直线l与函数y=g(x)的图像相切于点p(x.,y.),x.∈[e^-1,e]求实数b的取值范围.

（Ⅰ）x＞0时,f（x）=（x2-2ax）ex,∴f'（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex（1分）
由已知得,f′( 2
)=0,∴2+2 2
-2a-2 2
a=0,解得a=1．（2分）
∴f（x）=（x2-2x）ex,∴f'（x）=（x2-2）ex．
当x∈(0, 2
)时,f'（x）＜0,当x∈( 2
,+∞)时,f'（x）＞0．又f（0）=0,（3分）
当b=1时,f（x）在（-∞,0）,( 2
,+∞)上单调递增,在(0, 2
)上单调递减．（4分）
（Ⅱ）由（1）知,当x∈(0, 2
)时,f（x）单调递减,f(x)∈((2-2 2
)e 2

,0)
当x∈( 2
,+∞)时,f（x）单调递增,f(x)∈((2-2 2
)e 2

,+∞)．（2分）
要使函数y=f（x）-m有两个零点,则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时,m=0或m=(2- 2
)e 2

；（3分）
②当b=0时,m∈((2-2 2
)e 2

,0)；（4分）
③当b＜0时,m∈((2-2 2
)e 2

,+∞)（5分）
（Ⅲ）假设存在,x＞0时,f9x）=（x2-2x）ex,∴f'（x）=（x2-2）ex
∴f（2）=0,f'（2）=2e2
函数f（x）的图象在点（2,f（2）处的切线l的方程为：y=2e2（x-2）（1分）
直线l与函数g（x）的图象相切于点P（m,n）m∈[e-1,e],
∴n=clnm+b,g'（x）=c
x
,所以切线l的斜率为g'（m）=c
m
所以切线l的方程为y-n=c
m
（x-m）
即l的方程为：y=c
m
x-c+b+clnm（2分）
得 c
m
=2e 2

-c+b+clnm=-4e 2

⇒ c=2e 2
m
b=c-clnm-4e 2

得b=2e2（m-mlnm-2）其中m∈[e-1,e]（3分）
记h（m）=2e2（m-mlnm-2）（其中m∈[e-1,e]
∴h'（m）=2e2（1-（lnm+1））=-2e2lnm
令h'（m）=0⇒m=1（4分）
m （e-1,1） 1 （1,e）
h'（m） + 0 -
h（m）极大值-2e2
又h（e）=-4e2,h（e-1）=4e-4e2＞-4e2．
∵m∈[e-1,e],∴h（m）∈[-4e2,-2e2]
所以实数b的取值范围的集合：{b|-4e2≤b≤-2e2}（5分）

已知x=1是函数f(x)=(x^2+ax)e^x,x>0和bx ,x 已知函数f（x）=lnx+ax2-2bx（a，b∈R），g（x）=2x−2x+1-clnx．已知函数f(x)=x³+ax²+3bx+c(b＜0),且g(x)=f(x)-2是奇函数已知函数f(x)=ax²+2bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)=f(x),x>0或-f(x),x 已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数）,x属于R,F(x)={f(x),x>0 -f(x),x 已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数),x€R,F(x)={f(x) (x>0).-f(x) 已知函数f(x)=x的立方+ax的平方+3bx+c(b不等于0）,且g(x)=f(x)-2是奇函数.求函数f(x)的单调已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx(其中a、b为常数属于R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx(其中常数a,b属于R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数已知a,b是实数,函数f（x）=x^3+ax,g（x）=x^2+bx,f'（x）和g'（x）是f（x）,g（x）的导函数已知a,b是实数,函数f(x)=x^3+ax,g(x)=x^2+bx,f'(x)和g'(x)是f(x),g(x)的导函数已知函数f(x)=e^x+ax^2+bx.设函数f(x)在点(t,f(t))(0