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已知函数f(x)=x^2+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/25 05:02:21
已知函数f(x)=x^2+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.
(1)求实数a的值.
(2)利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
1)依题意,即对称轴为X=1
因此有:-a/2=1,
a=-2
2)f(x)=x^2-2x+b=(x-1)^2+b-1
令 x1>x2>=1,则x1-x2>0,x1+x2>1+1=2
f(x1)-f(x2)=(x1-1)^2-(x2-1)^2=(x1-x2)(x1+x2-2)>0
即f(x1)>f(x2)
因此在此区间是单调增函数.