作业帮已知函数f（x）=x2ln|x|，
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 06:31:21
已知函数f（x）=x2ln|x|，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解，求实数k的取值范围．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解，求实数k的取值范围．
（1）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}．
∵f（-x）=（-x）2ln|-x|=x2ln|x|=f（x），∴函数f（x）为偶函数．
（2）当x＞0时，f（x）=x2lnx．
∴f′(x)＝2xlnx+x2×
1
x=2x(lnx+
1
2)，
令f′（x）=0，解得x＝e−
1
2．
若0＜x＜e−
1
2，则f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
若x＞e−
1
2，则f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
再由函数f（x）是偶函数，当x＜0时的单调性如下：
函数f（x）的单调递增区间是(−e−
1
2，0)；单调递减区间是(−∞，e−
1
2)．
综上可知：函数f（x）的单调递增区间是(−e−
1
2，0)，(e−
1
2，+∞)；
单调递减区间是(0，e−
1
2)，(−∞，e−
1
2)．
（3）由f（x）=kx-1，得xln|x|+
1
x＝k，
令g（x）=xln|x|+
1
x．
当x＞0时，g′（x）=lnx+1−
1
x2=lnx+
x2−1
x2，可知g′（1）=0．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
∴当x＞0时，g（x）min=g（1）=1．
因此关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解的k的取值范围是[1，+∞）．
∵f（-x）=（-x）2ln|-x|=x2ln|x|=f（x），∴函数f（x）为偶函数．
（2）当x＞0时，f（x）=x2lnx．
∴f′(x)＝2xlnx+x2×
1
x=2x(lnx+
1
2)，
令f′（x）=0，解得x＝e−
1
2．
若0＜x＜e−
1
2，则f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
若x＞e−
1
2，则f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
再由函数f（x）是偶函数，当x＜0时的单调性如下：
函数f（x）的单调递增区间是(−e−
1
2，0)；单调递减区间是(−∞，e−
1
2)．
综上可知：函数f（x）的单调递增区间是(−e−
1
2，0)，(e−
1
2，+∞)；
单调递减区间是(0，e−
1
2)，(−∞，e−
1
2)．
（3）由f（x）=kx-1，得xln|x|+
1
x＝k，
令g（x）=xln|x|+
1
x．
当x＞0时，g′（x）=lnx+1−
1
x2=lnx+
x2−1
x2，可知g′（1）=0．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
∴当x＞0时，g（x）min=g（1）=1．
因此关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解的k的取值范围是[1，+∞）．