在平面上任给n个点P1,P2,…,Pn,证明在单位圆周上存在点A满足|AP1||AP2|…*|APn|>=1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 18:36:49

在平面上任给n个点P1,P2,…,Pn,证明在单位圆周上存在点A满足|AP1|*|AP2|*…*|APn|>=1

利用复变函数证明.
设P1,P2,...,Pn在复平面上表示成复数为z1,z2,...,zn
定义n次多项式P(z) = (z-z1)(z-z2)...(z-zn)
只要证明在|z|=1上,max |P(z)| >= 1
（由于单位圆是紧的,所以最大模肯定能取到）
考虑函数G(z) = P(z)/z^n
作变换w = 1/z,得G(w) = (1-z1*w)(1-z2*w)...(1-zn*w),由于G(w)是解析函数,其最大模在边界上取到,而G(0) = 1,所以在单位圆|w|=1上max |G(w)| >= 1
而|w| = 1时,|G(w)| = |P(z)/z^n| = |P(z)|,且|z| = |1/w| = 1
这就证明了|z| = 1时,max |P(z)| >= 1
再问：最大值大于1 乘积不一定大于1 啊就像 2*0.8*0.4=0.64
再答： |P(z)| = |z-z1|*|z-z2|*...*|z-zn| ＝ |AP1|*|AP2|*...*|APn|就是n条线段的乘积，这里A就是z，Pk就是zk,|z-zk|就是|APk|。 max |P(z)|表示对多项式P(z)的模求最大值，而不是求线段的最大值max |z-zk|

高中数学压轴题已知点A（1,0）,P1、P2、P3是平面直角坐标系上的三点,且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数在XOY平面上有一点列P1（a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn),…,对每个自然数n,点Pn位于函数在直角坐标平面上有一系列p1(x1.y1),p2(x2,y2).Pn（Xn,Yn）对一切正整数n,点Pn位于函数y=3x 已知点P1（a1,b1）,P2（a2,b2）,…,Pn（an,bn）（n为正整数）都在函数y=a^x（a＞0,a≠1）上平均数抽屉题平面上有n(n>=4)个互不相同的点p1,p2..pn,在每两点之间联起直线段,已知其中长度等于d的线段有n 在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2)...Pn(xn,yn)...对一切正整数n,点Pn位于函在△abc中,ab=ac=1,bc边上有2006个不同的点p1、p2.p2006,记mi=ap1的平方+bpi*p 已知n（n大于等于2）个点,P1、P2、P3、…P4在同一平面内,接下）在平面直角坐标系中，直线y=-2x+5上有一系列点：P0（1，3），P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（x 已知A(a,0),p1,p2,p3是x²/25+y²/16=1上三点,AP1,AP2,AP3成等差数平面上有两点A(-1,0),B(1,0),点P在圆周(x-3)2+(y-4)2=4上,求使AP2+BP2取最小值时P的坐平面上有两点A（-1，0），B（1，0），点P在圆周（x-3）2+（y-4）2=4上，求使AP2+BP2取最小值时点P的