在三角形ABC中,∠ABC=60度,∠BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC=90度.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/28 21:29:39
在三角形ABC中,∠ABC=60度,∠BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC=90度.
设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值
设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值
在原△ABC中,令AB=x.
∵∠BAC=90°、∠ABC=60°、AB=x,∴BC=2x、AC=√3x.
∵AD⊥BC,∴由三角形面积公式,容易得到:AD×BC=AB×AC,∴AD=AB×AC/BC=√3x/2,
∴BD=AB/2=x/2,CD=BC-BD=2x-x/2=3x/2.
在三棱锥C-ABD中:
过E作EF∥BD交CD于F.
∵EF∥BD、E是BC的中点,∴F是CD的中点,∴DF=CD/2=3x/4.
由勾股定理,有:AF=√(AD^2+DF^2)=√(3x^2/4+9x^2/16)=√21x/4.
∵E、F是△BCD的中位线,∴EF=BD/2=x/4.
∵BD⊥CD、BD⊥AD,∴BD⊥平面ACD,而AF在平面ACD上,∴BD⊥AF,∴EF⊥AF,
∴tan∠AEF=AF/EF=(√21x/4)/(x/4)=√21,
∴cos∠AEF=√{(cos∠AEF)^2/[(sin∠AEF)^2+(cos∠AEF)^2]}
=√{1/[1+(tan∠AEF)^2]}=√[1/(1+21)]=√22/22,
∴cos(180°-∠AEF)=-cos∠AEF=-√22/22.
∵EF∥BD,∴向量AE与向量DB的夹角=180°-∠AEF,
∴向量AE与向量DB夹角的余弦值为-√22/22.
∵∠BAC=90°、∠ABC=60°、AB=x,∴BC=2x、AC=√3x.
∵AD⊥BC,∴由三角形面积公式,容易得到:AD×BC=AB×AC,∴AD=AB×AC/BC=√3x/2,
∴BD=AB/2=x/2,CD=BC-BD=2x-x/2=3x/2.
在三棱锥C-ABD中:
过E作EF∥BD交CD于F.
∵EF∥BD、E是BC的中点,∴F是CD的中点,∴DF=CD/2=3x/4.
由勾股定理,有:AF=√(AD^2+DF^2)=√(3x^2/4+9x^2/16)=√21x/4.
∵E、F是△BCD的中位线,∴EF=BD/2=x/4.
∵BD⊥CD、BD⊥AD,∴BD⊥平面ACD,而AF在平面ACD上,∴BD⊥AF,∴EF⊥AF,
∴tan∠AEF=AF/EF=(√21x/4)/(x/4)=√21,
∴cos∠AEF=√{(cos∠AEF)^2/[(sin∠AEF)^2+(cos∠AEF)^2]}
=√{1/[1+(tan∠AEF)^2]}=√[1/(1+21)]=√22/22,
∴cos(180°-∠AEF)=-cos∠AEF=-√22/22.
∵EF∥BD,∴向量AE与向量DB的夹角=180°-∠AEF,
∴向量AE与向量DB夹角的余弦值为-√22/22.
在三角形ABC中,角ABC=60度,角BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形折起,使角BDC=60度 证明:平
在三角形ABC中,角ABC等于45度,角BAC等于90度,AD是BC上的高,沿把三角形折起,使BDC等于90度
(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠
在Rt三角形ABC中,AB=AC=1,AD是斜边BC上的高,以AD为折痕将三角形折起,使角BDC成直角,求证平面ABD垂
如图,在三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直于BC于点D,BE是三角形ABD的角平分线,角C
三角形ABC中,角BAC=90度,MN是三角形ABC的中位线,AD是BC上的中线.
在三角形ABC中,∠BAC>90°,AB=5,BC=13,AD是边BC上的高,AD=4,求CD和sinC
如图,在三角形ABC中,∠BAC=90度,AD⊥BC,
在rt三角形abc中 角bac=90度AD是BC边上的高 bf平分角abc交ad与点e
在Rt三角形ABC中,AB=AC=根号2,AD是斜边BC上的高,以AD为折痕将三角形折起,使角BDC成直角 求证平面AB
在三角形ABC中,∠B等于30度,AD是bc边上的高,∠acd等于60度,则∠bac
已知正三角形ABC的边长为a,AD⊥BC,D为垂足,沿AD将三角形ABD折起,使角BDC=90º则折起后点B到