如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/01 15:53:16

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，

与直线y=x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求△OAC的面积；
（3）若P为线段OA（不含O、A两点）上的一个动点，过点P作PD∥AB交直线OC于点D，连接PC．设OP=t，△PDC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；S是否存在最大值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

（1）∵直线y=-2x+12与直线y=x交于点C，
∴x=-2x+12，
解得x=4，（1分）
所以y=4，所以C点的坐标为（4，4）．（2分）
（2）由-2x+12=0得x=6，（3分）
所以S_△OAC=
1
2×6×4=12．（4分）
（3）如图，分别过点C、D作OA的垂线，垂足分别为M、N点，
因为PD∥AC，所以
DN
CM=
OP
OA，（5分）
即
DN
4=
t
6，所以DN=
2
3t．（6分）
所以S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC（7分）
=12-
1
2OP•DN-
1
2PA•CM=12-
1
2t•
2
3t-
1
2（6-t）•4=-
1
3t²+2t=-
1
3（t-3）²+3．（8分）
当t=3时，S有最大值，最大值为3．（10分）