如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 01:36:49

（Ⅰ）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）求证：平面MND⊥平面PCD；
（Ⅲ）当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的取值范围．

（Ⅰ）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD．
故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角．

在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°．…（3分）
（Ⅱ）证明：如图，取PD中点E，连接AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，
∴EN∥
1
2CD∥
1
2AB，
∴AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE．
在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线，∴AE⊥PD．
由PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，可推出CD⊥PD
又CD⊥AD，AD∩PD=D
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，
∵MN⊂平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD…（7分）
（Ⅲ）∵AD∥BC，∴∠PCB为异面直线PC，AD所成的角．
由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x（x＞0）．
∴tan∠PCB=
1+(
x
a)2．
又∵
x
a∈（0，+∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）．
又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈（
π
4，
π
2），
即异面直线PC，AD所成的角的范围为（
π
4，
π
2）．…（12分）

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点. 已知PA垂直平面ABCD.四边形ABCD是矩形.PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点, 如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点如图,PA⊥矩形ABCD所在平面M,N分别是AB,PC的中点,PA=AD.求证平面AND⊥平面PDC 已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a PA垂直于底面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,求证平面DMN垂直于平面PCD? 四棱柱P-ABCD中,低面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,M N分别是AB PC的中点,PA=AD=a 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=a,又M,N分别是AB,PC的中点,